目前，对称物体或者图形对称性的认识主要是传统的、平移条件下的对称规律和对称要素的作用。自1984年科学家发现准晶体后，逐渐打破了基于具有“平移重复”的传统对称性理论的界限，但仍试图通过种种对称操作建立与“平移”条件相应的对称要素。研究发现，自然界中更广泛存在的材料结构、生物和自然体系等具有另一类对称性，即非平移对称性。这类对称性与平移条件下的对称性有本质的不同，是对称性的更复杂、更普遍的一类规律，有待进一步去认识。例如，材料的团簇结构、玻璃相结构；叶序、渐开线形贝壳等动植物的生物对称性；云团、湍流以及电磁波，等等。可以认为，这些材料结构、生物和自然体系中存在着具有共性的一类规律，即非平移条件下的对称性。研究这类对称性并建立相应的对称要素具有十分重要的意义。本文研究非平移条件下材料和体系的对称性，分析这类对称结构的对称性特点。研究发现，非平移结构都具有对称收敛性；总结了各种收敛性结构的对称要素；建立了达到对称结构重复的对称操作方法和相应的对称要素，提出了描述解决这类问题的新方法。本文在以下几方面开展了研究工作：最先关注对称要素的是晶体学，晶体学中传统的对称要素也是一些几何要素，它是可以让图形或者一些结构发生规律变化的依据，但是传统的对称要素不能够准确描述准晶体的对称性，需要寻找具有更广泛意义的对称要素来对其描述。准晶体是一类没有平移对称性质的物体，但是其具有收敛对称性，对准晶体对称性完整的研究需要建立在非平移对称的基础之上。分析了超材料中左手材料、光子晶体和超磁性材料在传统对称要素下的对称性，发现超材料中很多特性不能够用平移对称来解释，必须借助非平移对称才能进行更深层次的研究。建立了非平移条件下四种新的对称要素，包括直螺旋轴、曲螺旋轴、曲对称面和收敛心，并建立了其相应的数学模型。直螺旋轴类似于螺钉的螺纹，或者是球面的渐开线，通过建立螺纹数学模型得出了螺纹测量的新算法。曲螺旋轴指变直径螺旋状曲线，典型结构是牵牛花，建立了变螺距圆锥的数学模型，得出曲螺旋轴切线和法向量计算方法。曲对称面是传统对称要素经过一定的组合之后产生的新的对称要素，其能够描述一些传统对称要素无法描述的对称性，建立了曲对称面的数学模型，利用该模型能够更好的对具有曲对称面的物体或者图形来分析。在螺旋扩大物体或者图形中总会有一个或者几个收敛点，该点就是收敛心。给出了收敛心典型模型向日葵花盘拥有两个收敛心，鹦鹉螺的壳有一个收敛心，通过对典型模型的分析建立了收敛心的数学模型。证明了晶体中对称定律的正确性，验证在晶体中只存在一次、二次、三次、四次和六次对称轴，不可能存在其他的对称轴。对非平移条件下对称性进行扩展分析，包括在材料、控制、生物、机电等一些领域的应用。讨论了动物外形及其DNA结构在非平移条件下的对称性，对植物叶序、花瓣分布规律的分析得出其与斐波那契数列的关系，并研究了宇宙和混沌世界所具有的对称性。论文在以下几方面取得了创造性成果：分析了传统对称性的运用范围和对称要素特点，论述了这些对称性描述原理和对称要素的局限性，总结了用传统对称性原理方法描述的各类结构和现象。提出了描述非平移对称结构的新原理，即收敛性对称结构的描述方法，并归纳了各类具有非平移对称性结构的特点，建立了非平移对称性的描述体系，用更具有普遍性的曲线、曲面等来描述这类现象。定义了直螺旋轴、曲螺旋面、曲对称面、收敛心等全新的对称要素，并结合实际，推导出相应的对称群。运用非平移对称性理论，描述了材料结构、生物和自然体系。事实证明，提出的新理论和方法能够准确、全面的描述自然界中更多存在的非平移对称现象。这一理论和方法将对材料结构、认识和利用自然等具有重要的影响。