本文研究双曲守恒律方程的Godunov型格式。全文分为两部分。第一部分提出了一个新的Riemann解法器，利用两步分裂的思想，对原Riemann问题的求解转化为两个相关的子问题的求解。这种方法可以避开避开传统Riemann解法器中复杂的波系分解和通量选择，较为方便地构造一个原Riemann问题的近似解。将这个新Riemann解法器写成等价的数值通量形式，可以发现该格式是单调的，利用Harten定理证明了该格式是TVD的，并证明了该格式满足离散熵条件。大量的数值试验表明该Riemann解法器的健壮性好，应用范围广泛。 第二部分研究了Burgers方程和Euler方程数值计算中的声速点故障问题。对数值格式产生该现象的原因进行了分析。应用前述的两步分裂的思想分解原方程，通过增加或减少线性对流项使得每步的子问题中都不包括跨声速区，从而避开了声速点故障现象。将此方法实施于一系列典型格式，均取得了令人满意的结果。