等角投影是一类重要的投影,在测绘、遥感和地理信息科学领域有广泛应用。然而传统等角地图投影模型束缚于欧氏几何,在理论和算法上缺乏统一性,已难以满足现代地理信息科学制图需求。面对复杂地图投影直接变换、法截面斜轴高斯投影和极区非奇异等角投影等问题,更加显现其不足。针对现有等角投影模型存在的问题,本文根据共形几何与等角投影天然上的联系,将共形几何引入等角投影研究,尝试构建了基于黎曼面理论等角投影统一表达与运算框架,为等角投影统一模型提供了底层数学理论支撑,克服现有等角投影分带、奇异的弊端,简化计算投影方程与分析;实现了等角投影直接转换模型,发现一族新的等角投影公式,形成“理论基础->投影模型->投影分析->投影表达”的基本框架,从而丰富地图投影的直接变换的理论与应用。论文主要内容和研究成果包括:(1)简要论述了黎曼几何、黎曼面理论与地图投影的内蕴关系。从黎曼几何分别论述了度量张量与投影形变、仿射联络与等距离投影、共形结构与等角投影的联系。最后尝试用黎曼面理论推广了等角投影。(2)基于黎曼几何的地图投影形变量度模型。用黎曼几何推导出地图投影形变的张量形式,避免了传统投影公式复杂的弊端。其次,从一般曲面映射研究地图投影,推广了投影应用范围。接着引入了等角投影的共形结构和测地线的平行移动,化简了等角与等距离地图投影模型。以常用纬度、正轴墨卡托投影及高斯投影为例,验证了新理论的优越性。这些结果可为推导新的地图投影方程提供理论依据。(3)基于Mobius变换的等角投影自同构模型。为实现等角投影直接变换,介绍了共形自同构变换群,在此基础上将正、横、斜轴等角方位投影统一为射影特殊酉群,并推广为黎曼球的共形自同构群。接着,根据拓扑详细介绍了不同亏格和边界下黎曼面的Mobius群,证明任意等角投影模型解析同构单连通黎曼面,解析映射商掉Mobius群后唯一确定。该研究显示基于黎曼面的等角投影模型简化了传统等角投影表达式,得到一类新的等角投影。(4)基于椭圆函数的Gauss投影模型。建立椭圆函数和高斯投影的内蕴关系,用椭圆函数重新解释了常用的高斯投影族。将Jacobi椭圆函数作为海图Mercator投影与陆图高斯投影直接转换的模型,凭借Jocabi椭圆函数的周期性和奇异点绘制了无奇异不分带单周期的高斯投影,即无奇异点的高斯极区投影。