群表示论已经成为当代代数学中发展迅速而且相当活跃的分支之一,并已经成为当前国内外代数学的主流方向。其中有限群表示论不但能够解决一些常见的数学问题,而且对具有一定对称性的物理、化学体系的问题的处理上也同样适用。群表示论在当前已经有了比较好的发展,特别是在特征标理论和李群结构方面都形成了具有专业术语的理论体系。在自由群具有线性表示的情况下,自由群的研究体现为矩阵群的研究。本文分别研究表示维数为固定未知或固定已知的情况下某类矩阵群的幂单性质。具体内容是:在某一对生成元最大若当块分别是二阶、五阶,任意本原元最大若当块不超过六阶条件下,本原元素幂单的矩阵群一定是幂单群(可解群);在表示维数为9的情况下,如果任意本原元最大若当块恰为六阶,那么本原元素幂单的矩阵群一定是幂单群。本文中运用矩阵对数工具,深入剖析本原元的组合性质,并且利用矩阵的乘积特点,构造更多独立的方程条件。通过这些方程导出矩阵幂零或幂单的必要性和充分性,用计算机编程辅助求解方程组。