本文着重研究完备平行平均曲率子流形的Ln/2曲率空隙和几何刚性问题. 本文第一部分主要研究欧氏空间和球面中完备的平行平均曲率子流形的Ln/2-pinching问题，获得如下结果：设Mn(n≥3)是欧氏空间Rn+p中完备的平行平均曲率子流形，H和S分别为M的平均曲率和第二基本形式模长的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C(n)，其中C(n)为仅与n有关、具体给定的正常数，则S≡nH2，即Mn是全脐子流形.特别地，若H=0，则M=Rn；若H≠0，则M=Sn(1/H).该结果改进和推广了由L.Ni和H.W.Xu证明的间隙定理. 更一般地，本文获得以下结果：设Mn(n≥3)是n+p维具有非负常曲率c的完备单连通空间形式Fn+p(c)中n维完备的平行平均曲率子流形，H和S分别为M的平均曲率和第二基本形式模长的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C(n)，其中C(n)为仅与n有关、具体给定的正常数，则S≡nH2，即Mn是全脐子流形.特别地，若c+H2=0，则M=Rn；若c+H2≠0，则M=Sn(1/√c+H2). 第二部分着重研究外围流形为双曲空间的情形，得到以下结果：设Mn(n≥3)是双曲空间Hn+p(-1)中完备的平行平均曲率子流形，H和S分别为M的满足H＞1的平均曲率和第二基本形式模长的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C′(n，H)，其中C′(n，H)为仅与n，H有关、具体给定的正常数，则S≡nH2，即Mn是全脐球面Sn(1/√H2-1). 第三部分研究了pinched黎曼流形中完备子流形的几何刚性问题，证明了下述结果：设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n(≥3)维完备的平行平均曲率子流形.设KN是N的截曲率，满足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，则存在常数τ1(n，p，H)(≤0)，τ2(n，p，H)(≥0)，其中τ12(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得当KN∈[τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)]，且nH2+A1(n,p)(d-c)+A2(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S＜α0(n,H)-B1(n,p)(d-c)-B2(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4时，Nn+p等距于欧氏空间Rn+p.进一步地，若supMS＜α0(n，H)，则M必为全脐球面Sn(1/H).这里常数α0(n，H)=n2H2/n-1，其余常数τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)，A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)将在正文中给出.