【摘 要】
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这项研究的目的是要对Abel群的诸多已知分解定理进行推广,尽可能地得到主理想整环上模的分解定理,随后再把所得定理应用到向量空间（有限维或无限维）及其线性变换,得到向量空间的分解定理.关于向量空间的研究,一方面是寻找新的角度对无限维向量空间的结构进行研究,另一方面是尽可能地将有限维向量空间及其线性变换的诸多已知结果进行推广,得到无限维向量空间的一些结论.论文主要包含了三个方面的内容:一、首先讨论了几
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这项研究的目的是要对Abel群的诸多已知分解定理进行推广,尽可能地得到主理想整环上模的分解定理,随后再把所得定理应用到向量空间（有限维或无限维）及其线性变换,得到向量空间的分解定理.关于向量空间的研究,一方面是寻找新的角度对无限维向量空间的结构进行研究,另一方面是尽可能地将有限维向量空间及其线性变换的诸多已知结果进行推广,得到无限维向量空间的一些结论.论文主要包含了三个方面的内容:一、首先讨论了几类具体的主理想整环上的拟循环模;其次给出模的宽度概念,根据主理想整环所含素元的情况分别讨论,研究宽有限的主理想整环上的模;再将这个思想推广到向量空间,分别对有限维向量空间和无限维向量空间进行讨论,研究A-宽有限的向量空间;最后给出了带有线性变换的向量空间作为F[λ]-模构成拟循环模的充要条件.二、从主理想整环上有界模分解的Pr¨ufer-Baer定理出发,研究（无限维）向量空间的代数的线性变换的几个基本问题,得到了如下结果:设V是域F上的（无限维）向量空间,A是V上的一个代数的线性变换,则有1.若任何与A可交换的线性变换均与线性变换B可交换,则B=f（A）,其中f是F上的多项式.进而线性变换B也是代数的.2.V中存在一组基,使A在这组基下的矩阵是有理标准形（经典标准形）矩阵.当F是代数闭域时,经典标准形矩阵即为若当标准形矩阵.3.当F是代数闭域时,A存在相应的Jordan-Chevalley分解.进一步,该结论在完全域上仍成立.这些研究推广了有限维向量空间上线性变换的相关结果.三、首先对主理想整环上的有限上生成模进行研究,给出了主理想整环上有限上生成模的结构定理.其次给出了主理想整环上有限生成模结构定理的一种矩阵证明,并把这种思想运用到向量空间上,给出了有限维向量空间关于线性变换的循环分解定理的一种直接证明（代数观点下,即任意矩阵相似于一个有理标准形）.
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