对流扩散方程是一类基本的运动方程,方程中包含扩散项及对流项,可用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中传热等众多物理现象。但对于这类方程,除了极少数简单情形,大部分问题目前还无法求得精确解,所以利用数值方法进行数值模拟是求解这类问题的主要方法,构造精确、稳定和高效的数值方法成为研究这类问题的重要内容。本文提出了一种边界型方法—半边界法用于数值求解线性及非线性对流扩散方程,并通过与其他数值方法的比较展示了半边界法在求解精度及效率方面的优势。半边界法的主要思想是利用混合变量将微分方程降阶,通过积分运算推导出相邻节点上变量之间的关系,进而推导出求解域内任意节点上变量与一半边界处未知量的关系,利用边界条件解出边界上的未知量后,再利用前述关系式得到任意节点上的全部变量。该方法中未知量只存在于一半的边界条件上,是边界型方法。值得注意的是,半边界法虽然属于边界型方法,但与传统的边界元法完全不同,在建立离散方程时它不需一个基本解,而是直接建立含有混合变量的微分方程。相比于有限体积法,在网格数量相同时半边界法中未知量少,对于一维问题求解过程中涉及到的计算矩阵只有二阶,不必要去求解大型的矩阵方程,减小了计算量并且节省计算所需内存,可以仅求解指定位置节点上的变量值,不需要全部求解。另外,新引入的未知量存在物理意义,使得半边界法可以求得全局解。针对对流扩散方程,对流占优问题一直是值得关注的问题之一。这类问题具有双曲性质,其解函数有大梯度变化的边界层,并且表征对流占优的Peclet数越大,边界层越薄。传统的数值计算方法在求解此类问题时,在边界层区域可能会出现数值振荡,无法得到准确的数值结果。对于对流占优问题,在相同节点数的情况下,利用半边界法求解能够得到较有限体积法更加准确的数值解,另外,通过利用不均匀节点分布减小局部Peclet数,可以在保证计算效率的基础上得到更加准确的数值解。对于对流占优问题,半边界法在计算精度上存在优势。另外,许多研究都是基于常系数模型,这样在求解时非常便利,但在描述许多实际工程问题时,对流扩散方程中的系数往往不是常数,甚至有可能出现间断系数。间断系数是变系数问题的一种特殊情况,由于间断处的不连续,对于很多方法而言在间断处需要设置连续性条件,这就使得其需要求解的方程增多,整体矩阵增大,计算效率下降。但对于半边界法而言,间断处无需特殊设置连续性条件,这对于求解间断模型的问题具有优势。应用于实际问题中的对流扩散方程并非都是线性的,很多方程的系数都与解有一定的关系,因此会出现非线性对流扩散方程的形式。Burgers方程是一类典型的非线性对流扩散方程,具有非线性对流项,可用作不可压Navier-Stokes方程的模型方程。由于非线性方程的复杂性,对流项的非线性往往使得解在某些区域产生剧烈的梯度,求其数值解就更加困难。针对非线性对流扩散问题,半边界法引入迭代算法,将非线性的系数利用迭代值近似,其他的求解分析步骤就与线性方程相同。通过对非线性对流扩散方程的具体问题进行求解,半边界法能够获得准确的收敛解,针对对流占优情况下的非线性对流扩散方程,利用非均匀网格同样可以获得稳定的高精度解。