我们知道w一无穷李代数W<,1+∞>,W<,∞>,由于在共形场论、量子场论等物理方面的广泛应用变得非常重要.广义W-无穷型(广义Weyl-型)李代数,由于它是无限维李代数,所以研究它的表示变得困难了许多.我们知道近年来出现了不少对Cartan型单Lie代数进行推广的文章,而其中非常重要的Witt代数可以看成是W-无穷型李代数的子代数.所以W-无穷型李代数的重要性不言而喻. 与顶点代数相连的李代数或由共形代数生成的李代数一般是(非有限的)г-阶化(即阶化空间是无限维的)非线性的李代数,这里г是一个加法群.我们知道,顶点算子代数是数学物理中共形场论和统计力学中至关重要的代数结构,决定这些代数的李代数结构一般是г-阶化的.由共形代数生成的李代数一般也是г-阶化的.从代数的角度看,量子场论就是由共形代数生成的李代数的表示.无限维非阶化李代数也很自然的出现在Hamilton算子理论中,并且在数学物理中起着重要的作用.因此,研究它们的拟有限表示自然是一件重要的工作. 在非有限阶化Lie代数的研究方面, N.Kawamoto,J.M.Osbmlnl D.Z.Dokovic,Passman,D.A.Jordan,苏育才、赵开明、徐晓平等做了大量的工作.特别值得一提的是,徐晓平利用导子单结合代数及局部有限导子构造了广义Cartan型的四族代数(参见[9]).关于这方面的研究,正受到越来越多的人的关注. 李超代数是上个世纪由物理学家首先提出来的概念. V.G.Kac在上个世纪70年代中发表的一系列文章中,给出了典型李超代数的分类的同时,提出了一系列重要问题,它们是李超代数基本而又最重要的问题.如典型李超代数的有限维不可约模的分类,有限维模的完全可约性,不可约模的特征标公式,不可约模的分类等问题,但这些问题至今尚未得到完全彻底解决(除某些特殊的李超代数外).而无限维李超代数的表示是一个更困难的问题.苏育才教授在这方面做了一些有益的尝试,如文献[1].典型李超代数的上同调是Bott-BoI-el-Weil理论及李超代数的Kazhdan-Lusztig理论的重要内容. 本论文共分四部分,第一部分讨论了广义W-无穷代数的Verma模.第二部分,研究了拟有限W<,∞>-模的分类.第三部分,我们计算了矩阵李超代数的2.上同调群.第四部分确定了广义Hamilton型李双代数的结构.