反问题广泛出现于数学、工程等领域,它兼具艰深的数学理论和复杂的科学计算等特点,在自然、社会科学的研究中具有举足轻重的地位。近年来逐渐发展成为国内外研究的热点与难点。本文考虑一类几何形状重构问题:逆位势问题。求解逆位势问题的经典方法主要是基于梯度下降的迭代算法。通常我们很难用该类方法探测未知源的位置信息。另外,经典的方法仅仅对未知几何的形状给出估计,然而在很多情况下,人们不仅需要考虑它的估计,还希望对它的统计信息作全面了解,即对它作不确定性量化分析。这一点用传统的参数化方法很难做到。为此,本文我们采用Bayes反演的框架来刻画未知信息。Bayes反演的基本目的是探讨在观测数据已知的情况,未知变量的后验分布。刻画后验分布的方式有很多种,最常见的有:a)用经典的分布近似后验分布;b)利用后验分布的样本信息来刻画它。我们采用抽样的方式对未知变量的统计信息作出估计,即从后验分布中抽取大量样本,利用这些样本估计统计量。常用的抽样算法是Markov Chain Monte Carlo方法,例如Metropolis-Hastings抽样算法。水平集方法的一大优势是在数值计算时,它允许计算区域的拓扑信息发生改变。本文研究利用水平集刻画未知区域的形状和位置信息。我们将Bayes反演与水平集方法相结合,探讨Poisson方程边值问题源函数的支撑集的重构问题。通过利用水平集对未知区域作参数化,我们分析在观测数据已知的情况下,水平集函数的后验分布。进一步考虑,将水平集函数参数化为径向基函数的展开形式,从而研究展开系数的后验分布性质,即后验分布的适定性。最后,通过一些数值例子,我们展示了形状参数化方法、水平集参数化方法、径向基参数化方法的优劣。这些数值结果表明,所提出的算法与Matérn随机场在未知源边界的问题上具有可行性和竞争性。