仿射代数几何是代数几何的一个分支,其基本研究对象为仿射空间以及其上的多项式映射.雅可比猜想和Tame生成子问题是仿射代数几何领域的两个著名的公开性问题.多项式自同构是研究仿射代数几何的重要工具,同时多项式自同构以及多项式自同构群的结构也是重要研究课题.本文的研究课题源于多项式自同构的研究.设K是特征0的域,K[X]是n元多项式环,F:Kn→Kn是多项式映射.如果F是可逆映射且其逆映射仍为多项式映射,则称F为可逆多项式映射或多项式自同构.设JF表示F的雅可比矩阵.雅可比猜想断言,若det JF∈K\{0},则F是可逆多项式映射.该猜想最早的形式是O.-H.Keller于1939年提出的一个问题.尽管雅可比猜想受到很多知名数学家的关注,并且被广泛研究,但至今在n≥2时仍是公开的.二十世纪末,菲尔兹奖获得者Smale把雅可比猜想列为21世纪18个公开数学问题之一.为证雅可比猜想,只需考虑三次幂线性映射:F=X+（AX）*3,其中A是n阶矩阵使得JF是幂零的.刻画和构造满足上述条件的矩阵对研究雅可比猜想有重要意义.设VA={u∈Kn|（diag（u）A）n=0}.Gorni等引入并刻画了 D幂零矩阵（即dim VA=n）,田岩引入并刻画了拟D幂零矩阵（即VA含有n-1维线性子空间）,李月月引入并研究了 qd幂零矩阵（即VA是二次超曲面）.本文第二章进一步发展了这种研究思路,引入并研究了 2qd幂零矩阵,即VA含有n-2维的线性子空间.当然,研究2qd幂零矩阵还有另一动机——二次线性幂自同构的线性三角化问题.我们首先推广了拟D幂零矩阵的概念,引入了 2qd幂零矩阵.证明了有n-1阶拟D幂零主子块的n阶矩阵是2qd幂零的,而非此类的2qd幂零矩阵都是不可逆的.然后给出了 2qd幂零矩阵的Frobenius标准形的基本性质.证明了 3阶2qd幂零矩阵恰为有非零主子式的矩阵.4阶2qd幂零矩阵非常复杂,部分结果放在了附录中.最后,我们给出了完全2qd幂零矩阵的主子式所满足的关系.二维的多项式自同构都是tame的（Jung-van der Kulk定理）.在维数>2时,多项式自同构都是tame的吗?这便是“Tame生成子问题”.在特征0的域上,Shestakov和Umirbaev于2004年证明了 Nagata猜测,从而否定地解决了三维tame生成子问题,这被视为仿射代数几何领域的一个重大突破.但四维及以上的tame生成子问题仍为公开问题.可线性三角化的多项式自同构都是tame的.由于tame自同构非常复杂,所以研究可线性三角化的自同构是理解tame自同构的重要途径.但即使当A的余秩为2时,二次幂线性自同构F=X+（AX）*2是否可线性三角化都是未知的.我们发现这样的矩阵A都是2qd幂零的,因此这成为我们研究2qd幂零矩阵的另一动机.此外,从2011年起,Karas等利用Shestakov和Umirbaev的理论研究了正整数的递增序列（d1,d2,d3）何时为tame自同构的多重次数的问题,得到了许多有趣的结果.本文第三章考虑了d1或者d2为奇数的情形,给出了一定条件下（d1,d2,d3）是某个tame自同构的多重次数的充要条件,推广了文献中的一些结果.多项式自同构群的结构相当复杂.我们知道n维一般线性群是n维多项式自同构群的子群.一种自然的想法就是从一般群论的观点考察多项式自同构群的特殊子群.本文第四章就是这样的一种尝试.我们综合几乎M-可补充子群和几乎S-嵌入子群这两个概念,引入如下新的子群在大群中的嵌入性质,亦即子群的广义几乎S-嵌入性质.设G是有限群,H≤G.如果存在K,T≤G使得T及HT皆在G中S-置换,H ∩ T ≤ H且K在G中S-半置换,则称H为G之广义几乎S-嵌入子群.我们首先利用广义几乎S-嵌入子群给出了一个群是p-超可解群或超可解群的充分条件,然后给出了某些有限群的所有p-主因子.最后列出了本章的主要结果的一些推论.推论表明本章的结果推广了文献中的许多结果.