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量子群理论是代数学领域中重要的研究内容,它是上世纪八十年代中期发展起来的代数分支.近二十年来,其理论被人们广泛的讨论.本硕士论文主要研究当q是单位根时,对量子群U = Uq（f（K,H））的中心及其单表示进行明确刻画.具体的,在第一部分,我们介绍了量子群Uq（g）的研究背景,重点阐述了当q是单位根时,量子群Uq（sl（2））的中心及其表示理论,并进一步引出了本论文的研究对象:量子群U=Uq（f（K,H））.第二部分,我们罗列了量子群Uq（f（K,H））的一些已有的主要结果: Uq（f（K,H））是由生成子K , H , K-1, H-1 , E ,F及关系式确定的k -代数;它具有唯一的Hopf代数结构（命题2.2.）;利用数学归纳法可得到Uq（f（K,H ））的生成子所满足的一般关系式（引理2.3.,引理2.4.）;以及Uq（f（K,H ））是Noetherian整环且具有基第三部分,我们主要讨论了量子群U = U q（ f （ K ,H））的中心,主要结论有:引理属于量子群Uq（f（K,H ））的中心,其中C q= )的量子Casimir元素.设U qK是Uq（f（K,H ））中所有与K可交换元素的集合.则有下面几个引理:引理3.2.,其中引理3.3.记引理3.4. Z （U ）是由,E e F e及生成的的子代数.最后我们得出本文第一个主要的结论:定理3.5. Z （U ）是由生成的子代数,其中s∈.第四部分,我们引入U上模的权向量的概念,并根据维数对单U -模进行了分类.首先我们讨论维数小于e的Uq（f（K,H））-模并证明了以下几个结论:命题4.2.设V是Uq（f（K,H ））模,dim V = d + 1< e.则（1）V中一定存在最高权向量.（2） E ,F作用在V上是幂零的.引理4.3.设v是V的一个最高权向量且最高权为则定理4.4.设V是有限维Uq（f（K,H ））模,dim V = d + 1< e,且V是由最高权向量v生成,权为（ a ,b ）.则（1）权（ a ,b ）满足关系式（ ） （ ）f ? d+1 a , b= 0.（2）V中任一最高权向量相差纯量倍.（3）V是单模.通过上面几个定理的证明,我们容易得出这部分的第一个主要结论:定理4.5.设V是维数为d + 1< e的单Uq（f（K,H ））模.则存在a ,b∈k,使得V均同构与Va , b ,d,其中Va , b ,d是已构造的维数为d + 1的单模.接下来考虑单模的维数大于e时,我们利用反证法可证得这样的单模不存在,即:定理4.6.维数> e的单模不存在.最后我们得出维数等于e的单U -模的结构:定理4.7.设V是维数等于e的向量空间,基为则V具有以下三种类型的单U -模结构: （Ⅰ）取定定理4.8.设V是维数e等于的单模.则V同构与上述单模之一.由此定理,我们就能清楚的刻画出维数等于e的单U -模的结构.