自由边界问题已经被广泛地应用于生态学和传染病学的研究中.本博士学位论文通过对生态学和传染病学中的几类自由边界问题的研究,寻找和发展这些问题的研究方法并解释现实世界中的实际现象.自由边界问题主要关心的问题为:解的整体存在性与唯一性,蔓延或者熄灭发生时的长时间行为,蔓延---熄灭二择一的性质,蔓延与熄灭的判别准则,以及蔓延发生时自由边界的传播速度和传播前延的轮廓等问题.我们首先研究具有退化扩散项的自由边界问题解的适定性.主要讨论了两类问题,一类是两物种具有不同的活动区域,另一类是两物种具有相同的活动区域.对于具有不同活动区域的问题,我们讨论了一个具有Logistic项的SI模型,其中易感者S分布在整个空间,感染者I的分布范围是自由边界围成的区域,随着时间的增加,感染者的分布范围会随之扩大.对于具有相同活动区域的问题(两个分量有共同的自由边界),我们讨论了一般形式的方程组.虽然它们均具有退化扩散项,但是由于分布区域不同,所以论证时的方法也不同.对于这两类问题,我们均得到全局解的存在唯一性以及正则性的结论.其次,接着上一章对具有退化扩散项和Logistic项的SI模型的讨论,我们研究它的动力学性质.给出了蔓延或者熄灭发生时解的长时间行为,蔓延熄灭二择一的性质,蔓延与熄灭的判别准则,最后用数值模拟佐证我们的理论结果并通过数值方法模拟参数的临界值.再次,研究具有退化扩散项和年龄结构的捕食模型的自由边界问题.被捕食者相对于捕食者移动的很慢,可以忽略不计,比如鸟类与昆虫,所以认为被捕食者的扩散率为0,且分布区域为全空间.捕食者具有年龄结构,分别为幼年捕食者和成年捕食者,由于幼年捕食者依赖于成年捕食者而生存,所以幼年捕食者和成年捕食者的分布范围相同(具有共同的自由边界).对应的问题是一个常微分方程和两个具有相同自由边界的偏微分方程耦合的方程组的自由边界问题.我们给出了全局解的存在性唯一性和正则性,蔓延熄灭的二则一的性质,蔓延与熄灭的条件以及熄灭发生时的长时间行为.最后研究Lotka-Vo Lterra型的弱竞争模型的自由边界的传播速度.两个竞争种群的左边界相同,但是右边界具有不同的自由边界,并且两个自由边界向同一方向移动.我们通过构造精细的上下解并应用比较原理,经过复杂细致的计算和估计,得到蔓延较快种群的边界传播速度和传播前沿的轮廓.