本文主要讨论平面剖分图的着色问题，通过讨论图的色多项式的零点问题，分析对图的着色保证相邻的两个区域着不同颜色的最少方法数目，进而给出了平面剖分图的着色方法数目的重要性质.而图的色多项式与Potts模型的分拆函数相关联，因此文章中涉及了关于统计力学的相关结论.这篇文章的主要研究方法是对平面图的着色提供了一个新的研究渠道，即通过色多项式计算，计算出平面剖分前后的着色数目，进而再计算球面剖分图的着色数目.我这篇文章的整体结构是，首先，对图论知识及统计力学知识的进行回顾，然后对一些特殊图形分别对剖分前后图的着色最少方法数目进行讨论：第一种情况讨论的是“n个区域图G_n”的着色问题；第二种情况讨论的是“n个区域图G_n的广义剖分图”的着色问题；第三种情况讨论的是“具有一条公共边的两个区域G_n和G_m，及广义剖分图”的着色问题；第四种情况讨论的是“两两相邻的三个区域图G_n, G_m,Gt及广义剖分图”的着色问题；第五种情况讨论的是“区域图Gn进行三角剖分图”的着色问题；第六种情况讨论的是“简单正多面体的及球面的三角剖分图”的着色问题.最后对于平面图上建立的Potts模型，以上对原有图与剖分后图的着色数目变化的分析可以应用到对Potts模型的分拆函数发生的变化的分析中，同时统计力学中的很多热力学变量都可以用分拆函数计算得到，如计算某种状态模型的概率等.因此会得到相应的统计力学的应用.