【摘 要】
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1925年,R.Nevanlinna引入了亚纯函数的特征函数,给出了两个基本定理,从而建立了亚纯函数的Nevanlinna值分布理论,为亚纯函数的正规族和唯一性等理论研究提供了研究工具和理论基础.亚纯函数的正规族理论是复分析的一个重要组成部分,上世纪初,P.Montel引入了正规族的概念,他把具有某种列紧性的函数族称为正规族,随后相继出现了著名的Marty定则及Miranda,Valiron和庄圻
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1925年,R.Nevanlinna引入了亚纯函数的特征函数,给出了两个基本定理,从而建立了亚纯函数的Nevanlinna值分布理论,为亚纯函数的正规族和唯一性等理论研究提供了研究工具和理论基础.亚纯函数的正规族理论是复分析的一个重要组成部分,上世纪初,P.Montel引入了正规族的概念,他把具有某种列紧性的函数族称为正规族,随后相继出现了著名的Marty定则及Miranda,Valiron和庄圻泰正规定则.1975年L.Zalcman引入了亚纯函数族不正规的充要条件,使正规族理论的发展趋于成熟.亚纯函数唯一性理论是复分析中的一个重要研究课题.所谓亚纯函数唯一性理论,通俗的讲,是指一个函数可以由什么条件唯一确定,或者说两个函数满足什么条件时是恒等的.1929年,R.Nevanlinna证明了著名的五值唯一性定理,随后他又得到著名的四值唯一性定理,这是亚纯函数唯一性理论的两个经典结果.近几十年来,关于亚纯函数唯一性理论的研究十分活跃,国内外复分析学者如:E.Mues,G.Frank,M.Reinders,N.Steinmetz,G.G.Gundersen,C.C.Yang,仪洪勋等都在亚纯函数唯一性的研究中取得了许多出色的结果.本人的博士论文主要工作是讨论了涉及微分多项式的亚纯函数的正规性与唯一性的问题.全文主要包括以下几个部分的内容:第一章介绍了本文的研究背景、研究内容与研究方案等.第二章简要介绍了Nevanlinna基本理论,并给出了本文用到的一些定义和定理.第三章我们研究了一类Hayman问题中涉及微分多项式的亚纯函数正规族问题,分别从无零点的亚纯函数和零点重数不小于k+1的亚纯函数这两种情况,推广了顾永兴的结果和方明亮等人的结果.第四章我们研究了一类非线性微分方程的亚纯解问题,运用分类讨论法,改进了陈敏风和高宗升的结果,即去掉了“超越函数”、“有穷级”的限制条件.第五章提出一些待解决的问题供今后继续研究.
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