非线性理论由三大理论构成:混沌理论、分形理论、孤立子理论,它们是非线性这门学科的理论基础。基于非线性理论,本文研究了混沌、分形领域中的若干问题及其在信息安全等领域的应用,具体研究内容如下: 推广了Baker、Devaney和Romera等人的工作,并构造出一系列复指数映射的广义Mandelbrot-Julia集,给出了复数阶的广义Julia集发生突变的理论依据,从理论上分析了广义Mandelbrot-Julia集的对称性和周期性。 研究了二维Logstic映射不动点的性质,给出了在参数空间中二维Logistic映射发生第一次分岔的边界方程。采用相图、分岔图、功率谱、Lyapunov指数计算和分维数计算方法,描述了二维Logistic映射从规则运动转化到混沌运动所具有的普适特征。 给出了二种数字水印算法。一种是基于图像特征和超混沌迭代的图像认证算法,另一种是结合迭代函数系(Iterated Function System,IFS)理论,利用IFS吸引子抗几何失真的特性,实现了非对称数字水印算法。研究结果表明:二种算法对噪声、滤波、压缩、旋转等图像处理方法具有较好的鲁棒性。 基于离散线性系统的稳定性理论,对Rssler混沌系统进行控制,使之追踪连续参考信号,并证明该控制系统指数收敛到参考信号,数值仿真进一步表明该方法的有效性。 推广了Peitgen、Pickover和Carlson的方法,构造了一系列拟3D广义Mandelbrot-Julia集,研究了拟3D广义Mandelbrot-Julia集的结构拓扑不变性和裂变演化规律。 以上的部分研究工作已发表在《自然科学进展》、《计算机研究与发展》和《应用力学学报》等刊物上。