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矩阵的广义逆理论是矩阵理论的重要组成部分.1955年,R.Penrose证明了 E.H.Moore在1920年提出的矩阵广义逆概念可以用四个矩阵方程来刻画,现称为Moore-Penrose逆.1958年,M.P.Drazin在半群和环上引入伪逆的定义,现称为Drazin逆.Moore-Penrose逆和Drazin逆是两种经典的广义逆,在许多学科中有重要的应用.随着广义逆理论的不断发展,又出现了几类新型广义逆,如核逆,(b,c)-逆.其中(b,c)-逆概括了 Moore-Penrose逆,Drazin逆,群逆和核逆等广义逆.环上核逆,Moore-Penrose逆和(b,c)-逆是当前环上广义逆理论的热点研究问题.由于统计研究的需要,人们引入了基于广义逆的偏序,现已成为热点研究问题.基于广义逆的偏序主要有星偏序,减偏序,#-偏序和核偏序.近年来,越来越多的学者从环的角度研究广义逆和基于广义逆的偏序问题.由于在环上研究广义逆问题有一定的难度,有很多问题有待解决.借助环论的方法与工具对环上的广义逆展开研究,主要内容如下:第二章考虑了环中元素的Moore-Penrose逆.首先,利用可逆元,幂等元,投影元和直和分解研究了环中元素的Moore-Penrose逆的存在性和表达式.对带有对合的环R,得到了环中元素a有Moore-Penrose逆的判断准则:a是Moore-Penrose可逆的当且仅当a是良好支撑的,从而说明J.J.Koliha等人发表在Linear Algebra Appl.上关于Moore-Penrose逆等价刻画里*-可消条件可以去掉.其次,利用直和分解讨论了 Moore-Penrose逆存在的充要条件.最后,研究了基于Moore-Penrose逆的投影元的相关性质.第三章主要研究了环中元素的核逆.首先,讨论了核逆存在的判别准则,将D.S.Rakic等人发表在Linear Algebra Appl.上关于核逆的五个方程的刻画弱化为三个方程.回答了一个群可逆元何时是核可逆的问题.利用可逆元刻画了核逆的存在性.其次,讨论了核逆的吸收律和反序律成立的条件,以及环上三角矩阵的核可逆性问题.最后,研究了在一定条件下两个核可逆元和的核可逆性问题,并给出表达式.第四章主要研究了环中元素(b,c)-逆的存在性和表达式,应用中心化子讨论了(b,c)-逆的吸收律和反序律何时成立的问题.首先,由于环中元素a的(b,c)-逆一般不是a的{1}-逆,因此本章讨论了内(b,c)-逆的存在性问题,证明了对于a,b,c∈R,a的内(b,c)-逆存在当且仅当a是正则的,R=a°⊕bR和R=°a☉Rc.从而推广了关于Moore-Penrose逆,群逆和核逆的相关结果.其次,研究了交换子A4‖(B,C)-A‖(B,C)A的秩,其中A,B,C∈Cn×n.若A有(B,C)-逆 A‖(B,C),则 rank(AA‖(B,C)-A‖(B,C)A)= rank([CCA])+rank([AB|B])-2rank(B),从而推广了 EP矩阵和co-EP矩阵的秩刻画和改进了刘永辉等人关于AT,S(2)逆结果.第五章讨论了环中的EP元的等价刻画.首先,给出EP元的方程刻画.证明了对于a ∈R,a是EP元当且仅当存在x∈R使得((xa))*= xa,xa2=a和x2=x.其次,回答了核可逆元(Moore-Penrose可逆元,群可逆元)何时为EP元的问题.对于a ∈ R,将P.Patricio和R.Puystjens发表在Linear Algebra Appl.上a是EP元等价刻画的条件aR = 弱化为aR(?)a*R.最后,引进了 n-EP元的定义,推广了双-EP的概念,给出了 EP元的等价刻画.第六章主要研究了基于广义逆的星偏序,核偏序,钻石偏序等偏序.首先,对两个Moore-Penrose可逆元,在一定条件下讨论了星偏序的伪上半格存在性,从而改进了 R.E.Hartwig发表在Proc.Amer.Math.Soc.上的结果.其次,讨论了核偏序和左星偏序,钻石偏序和左星偏序等偏序之间的联系.最后,更正了 S.B.Malik发表在Appl.Math.Comput.上的文章的错误.