拟共形映射理论在Teichmüller空间、Riemann曲面、Fuchian群和复动力系统中都有重要的应用。设μ(z)为拟共形映射f的复特征，‖μ‖_∞≤K＜1。当‖μ‖_∞=1时，Beltrami方程同胚解的存在性及其性质是人们普遍关注的问题。本文第二章将在Brakalova-Jenkins条件下给出p_h(x, t)的一个估计式。 关于单叶性内径的研究一直十分活跃，Galvis, Lehto, Lehtinen, Miller-VanWieren得到了一系列的结果。对三角形，正多边形，角形区域，双曲线围成的区域的单叶性内径已经得到了精确的数值，对于椭圆，矩形的单叶性内径也得到了部分估计。在第三章中，我们从经典的Schwarz-Christoffel公式出发，得到了一类六边形的单叶性内径。 拟共形映射的极值问题是拟共形映射理论中的又一重要课题，在文章的第四章中，我们将考虑曲面R=U R_i i∈I上的极值问题，其中每个R为双曲Riemman曲面，R_i∩R_j=φ，i≠j，I为非空指标集。我们将把经典情形极值问题的几个重要结果推广到我们要研究的空间R上来。