Chern绝缘体是以Chern数为特征的电子系统,它具有量子化的霍尔电导和受保护的无能隙边界态,同时打破了时间反演对称性。后来,当量子自旋霍尔绝缘体被发现时,人们认识到对称性在拓扑状态的分类中起着重要的作用。根据是否具有时间反演对称性、粒子空穴对称性和手征对称性的分类方案,我们判断具有不同对称性的拓扑绝缘体和超导体属于不同的范畴,它们在拓扑上没有联系。物理学家认为,在电子的拓扑结构中探索超导体和绝缘体之间可能具有的联系是很有意义的。这种联系为寻找超导体中的Majorana费米子提供了可能。目前,在现实生活中,人们还没有发现Majorana费米子的存在,但是可以通过其它方式衍生出Majorana费米子。在凝聚态物理中,人们明确地认识到物质具有拓扑能带结构的重要性,并因此发现了新的物质状态,如拓扑绝缘体。所以,人们提出了一系列具有拓扑非平凡平坦能带的模型。这些晶格模型具有拓扑非平凡的能带,类似于Haldane模型,并且它们的带宽可以调整的比带隙小得多,从而形成一个几乎平坦的能带结构。在当今社会中,具有非平凡拓扑结构的绝缘体和超导体已经并将继续引起人们的极大兴趣,而且还具有巨大的研究价值。本论文中,我们分别对具有平带的Chern绝缘体棋盘晶格模型和d+id波的六角晶格模型进行研究。具体的内容如下所示:第一章中,我们主要介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导的发展历程,最后的小节中主要阐述本文选题的原因。第二章中,在2.1节中介绍了棋盘晶格spinfull Haldane模型的哈密顿方程、能谱和边界态,得到该模型具有拓扑上非平凡且Chern数C=2的平坦带;在2.2节中利用平均场方法,计算了铁磁和反铁磁各自的哈密顿方程、自洽方程并画出了它们的能谱,我们发现退化的平坦带在反铁磁序的作用下变成了色散带,但在铁磁序的作用下却分裂成了两个平坦带;在2.3节中通过计算和对比不同掺杂下铁磁和反铁磁序的基态能量,整理总结得到了整体相图,研究发现一共具有七个相:普通金属、反铁磁金属、铁磁金属、具有量子反常霍尔效应Chern数C=2的Chern绝缘体、C=2反铁磁Chern绝缘体、普通反铁磁绝缘体和C=1铁磁Chern绝缘体;在2.4节中利用无规相近似的方法计算得到了铁磁和反铁磁序的自旋密度波公式,并对半填充、四分之一填充还有其他掺杂的情况进行了具体的分析,其中重要的结论是,当四分之一填充d=0.5时,系统成为C=1铁磁Chern绝缘体。同时,还发现自旋密度波在铁磁序和反铁磁序下都是色散的。反铁磁下,自旋波的色散呈现出线性行为,而铁磁序下,自旋波的色散呈现出二次方行为;最后,我们把结论进行具体的分析和总结。第三章中,我们考虑了一个具有最近邻、次近邻跳跃和最近邻具有配对项的六角晶格模型上的手性单重态d+id波超导体。第3.1节中我们计算了六角晶格无自旋Haldane模型在只有最近邻和次近邻作用时的能谱和边界态,得到了具有拓扑性质的边界态;在3.2节通过在最近邻上引入d+id波超导配对,计算出了超导序参数Δ和化学势μ的自洽方程;第3.3节中,画出了超导序参数Δ和能隙随相互作用变化的情况,得到重要的结论:在半填充相互作用为U=5时,K空间中的一条边界态与实空间的一对Majorana零能模正好对应;第3.4节中,把得到的结论进行分析和总结。第四章中,对拓扑绝缘体和拓扑超导体都做了总结和展望。