令G=(V，E)表示连通简单图,用dG(u,v)表示图G中两点u,v之间的距离,即两点之间最短路的长度。用DG(u)表示图G中所有点到u点的距离之和,即DG(u)=∑v∈V(G)dG(u,v)。Balaban指数是图的基于距离的拓扑不变量,其定义为：其中μ=m-n+1,m,n分别表示图的边数和顶点数。Balaban指数是由美国科学院院士、著名的化学家、数学化学家A.T.Balaban于1982年提出,之后Balaban等人提出了Sum-Balaban指数的概念,定义为：这两个指数不仅在化学中有很好的应用背景,在QSAR/QSPR模型上也得到了广泛的应用。本篇论文我们研究了双圈图的Balaban旨数和Sum-Balaban指数的极值问题,给出了紧的上界。Gutman在1994年提出了另一个基于距离的拓扑不变量Szeged指数,其定义为：其中nv(u)(e)=|Nv(u)(e)|,Nu(e)={w∈V(G)：dG(u,w)<dG(v,w)}。随后,Randic发现Szeged旨数中未涉及到一条边的两个顶点的距离相等的点的集合,基于此Randic提出了修正的Szeged指数,定义为：其中no(e)=|No(e)|,No(e)={w∈V(G)：dG(u,w)=dG(v,w)}。以上这些拓扑指数都被广泛的研究,Knor等人就给出了n个顶点的r正则图和富勒烯图的Balaban指数的精确上界。同时他们提出了如下的公开问题：研究此类图的其它拓扑不变量的类似的界。围绕这一公开问题,我们给出了正则图的上述四个拓扑不变量的上下界。在第一章中,我们首先介绍了图的基本知识,其中涉及到拓扑不变量的背景以及研究进展,并列出了本篇论文的主要结果。第二章定义了图的几个运算,给出了双圈图的Balaban和Sum-Balaban指数的上界,并且刻画出达到最大Balaban和Sum-Balaban指数的双圈图的结构性质。第三章中,围绕Knor等人提出的公开问题,我们给出了n个顶点的r正则图Sum-Balaban指数的上界,以及r正则图的Szeged指数和修正的Szeged指数的上下界。在这章的最后,我们给出了一些特殊的正则图类——富勒烯图以及立方图的相关指数的界。在最后一章中,我们总结了本篇论文的主要结果,并且就今后要研究的问题进行了探讨。