Sobolev方程在流体力学、热力学等许多数学物理方面都有着广泛的应用，例如：流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中的湿气迁移问题，不同介质间的热传导问题等等．本文共分两章： 第一章介绍了拟线性Sobolev方程的间断时间变量的Galerkin有限元方法． 有限元法对全离散格式的推导，常见的是：先用Galerkin有限元法对空间变量进行离散化，再用有限差分对时间变量进行离散化．时间间断的Galerkin有限元法是对时间变量也应用Galerkin方法进行离散化，构造关于时间变量是次数不超过q—1次的分片多项式形式的有限元格式．这样在方法的定义和分析上，对时间变量的处理与对空间变量的处理是类似的，从而对时间变量和空间变量都可以获得高精度． 本章研究了拟线性Sobolev方程的间断时间变量的Galerkin有限元方法．按照上述的基本思路，构造了关于时间变量是次数不超过q—1的分片多项式形式的有限元格式，并进行了误差分析，得到了最优的L∞（O，T；H1（Ω））模误差估计．拟线性Sobolev方程含有时间和空间的混合偏导数项uxxt，从而增加了研究的难度，也是本文研究的意义所在． 本章分为五节：第一节是引言，简单介绍了间断时间变量的Galerkin有限元方法；第二节和第三节给出了拟线性Sobolev方程的模型以及关于时间间断的Galerkin有限元格式；第四节通过不动点定理证明了格式解的存在唯一性；第五节通过引入非标准椭圆投影，借助反向问题等方法，对该格式进行了L∞（O，T，H1（Ω））模误差估计． 第二章介绍了线性Sobolev方程的间断时间变量的H1—Galerkin混合有限元方法． H1—Galerkin混合有限元方法首先将问题化成未知变量u和其通量函数σ的一阶混合方程组，然后用H1—Galerkin有限元方法离散．在这个方法中，未知变量u和其通量流函数σ的逼近空间Vh×Wh，可以选择不同次数的多项式空间．与标准混合元法相比，H1—Galerkin混合元方法不需要满足空间的LBB—相容条件，误差估计可以很好地区分出Vh和Wh的逼近效果，而且没有要求有限元网格的拟一致性条件． 本章利用H1—Galerkin混合有限元方法和间断时空有限元方法相结合的技巧，研究了线性Sobolev方程的间断时间变量的H1—Galerkin混合有限元方法．构造了关于时间变量是次数不超过q—1的分片多项式形式的H1—Galerkin有限元格式，发挥两个方法的优势，获得了高精度数值方法． 本章也分为五节：第一节是前言，简单介绍了H1—Galerkin混合有限元方法；第二节和第三节分别给出了线性Sobolev方程的模型以及关于时间间断的H1—Galerkin混合有限元格式；第四节通过Gronwall不等式证明了格式解的存在唯—性；第五节进行了误差分析，得到了未知函数u和通量函数σ的最优的H1模误差估计，对空间变量和时间变量的逼近阶都达到了最优．