一个抽象空间称为一个流形,如果局部上的每一点都有一个邻域与欧式空间同胚,流形整体上的结构非常复杂。然而在流形上,很多复杂的结构都可以用简单空间上相关的好的性质来理解和表示,也正因为如此,流形成为数学上和物理学上的非常重要的研究对象。研究流形上各样的概念和理论就变得愈发重要了。在这篇论文中,我们在流形上考虑Poincaré型不等式。一个函数范数,如果它在某个域上的值与其平均值的差值可以被这个函数的梯度或高阶梯度在某种意义下控制,则称它满足广义上的Poincaré型不等式。这类不等式具体可以包括Poincaré型不等式,Caccioppoli不等式,Hardy-littewood不等式和反向Ho¨lder不等式。这些不等式在很多领域中,如研究偏微分方程理论和势理论,都起着非常重要的做用。由于流形的复杂性,本文选择黎曼流形来研究,特别地,选择平坦黎曼流形。本文我们推广欧式空间中的Poincaré型不等式到平坦的黎曼流形中来,接着在平坦黎曼流形中,讨论了加双权的Poincaré型积分不等式在F(δ,N)域上的情形。