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本文基于三角曲线的理论来研究几个与3×3离散矩阵谱问题相联系的孤子方程族的有限亏格解,分别是Itoh–Narita–Bogoyavlensky晶格族,修正Belov–Chaltikian晶格族,四分量Toda晶格族,Merola–Ragnisco–Tu晶格族.从3×3离散矩阵谱问题出发,利用离散的零曲率方程和Lenard递推序列导出与之相对应的孤子方程族.借助于驻定情况的Lax矩阵的特征多项式引入三角曲线,对其紧致化后产生一个亏格为2)的三叶Riemann面2).在Riemann面2)上定义Baker–Akhiezer函数以及与Baker–Akhiezer函数紧密相联系的亚纯函数,通过定义亚纯函数的零点和极点引入椭圆变量,从而将离散孤子方程族分解成可解的Dubrovin-型常微分方程组.进一步分析得到亚纯函数和Baker–Akhiezer函数的渐近性质和因子.引入三类Abelian微分,利用Riemann–Roch定理构造亚纯函数和Baker–Akhiezer函数的Riemann theta函数表示,再结合其渐近性质得到离散孤子方程族的有限亏格解.这四个问题的共同点是与3×3离散矩阵谱问题相联系,需要在三叶Riemann面上去考虑.与3×3连续矩阵谱问题不同,在分析亚纯函数和Baker–Akhiezer函数的渐近展式时,需要同时考虑无穷远点和零点.与此同时,每个问题又有各自的特点.在第二章中,Riemann面有两个无穷远点(一个是二重分支点,一个不是分支点)和一个三重零点;第三章的Riemann面有三个无穷远点(均不是分支点)和一个三重零点;第四章的Riemann面有三个无穷远点,亚纯函数和Baker–Akhiezer函数在零点处无奇性;第五章的Riemann面有三个无穷远点和三个零点.因此在局部坐标的选取,亏格的计算以及亚纯函数和Baker–Akhiezer函数的渐近性质分析上都不同.