非平稳信号的主要特征是其频率是时间的函数.经典Fourier分析不能揭示非平稳信号的时变特征.这主要是由于Fourier分析是将一个周期函数分解为无穷多个最和谐的函数,即频率为其基本频率整数(包括零)倍的正弦波的加权和。然而,这些正弦波的频率是固定不变的.Fourier分析只是适用于分析信号的组成分量的频率不随时间变化的平稳信号,分析结果也仅仅能够昭示一个信号是由多个正弦波叠加而成.理想的时频分析方法为将复杂信号分解为某些简单信号的叠加,且对这些简单信号能定义有意义的瞬时频率和构造其时频分布.瞬时频率是定义在解析信号的相位求导上的,是一种新的频率描述方法,使得对非平稳信号同样可以进行频谱分析.N.E Huang研究的Hilbert-Huang变换提供了一种算法将一个复杂的瞬变信号分解为有限数目的固有模态函数的和,其实验表明经验模态分解方法中每一阶固有模态函数与Hilbert变换有着密切联系,每-阶固有模态函数为满足解析条件的解析信号的实部,可视为单分量信号.解析信号理论在Hilbert-Huang变换起到重要作用.经典Fourier分析中Fourier原子为具有线性相位的单位解析信号,是否存在具有非线性相位的解析信号?已经证明了非线性Fourier原子为具有非线性相位的单位圆解析信号.进一步地得到由Blaschke乘积构造的广义非线性Fourier原子亦为单位圆解析信号.但是,广义非线性Fourier原子不具有正交性.问题的关键在于如何构造一组标准正交基函数,使得其为具有瞬时幅度和瞬时频率的解析信号。 本论文的主要研究工作是围绕着非线性Fourier原子来展开的.首先,针对解析信号的有关知识进行了研究.给出了分数阶Fourier域上的Bedrosian定理,并进一步讨论线性正则变换域上解析信号的有关性质和Bedrosian定理.其次,主要证明了存在一组标准正交基函数,其为具有瞬时幅度和瞬时相位的解析信号,并讨论了其构成Fourier级数的Cesàro平均求和法.本文的主要创新之处体现在以下几个方面： (1)瞬时频率分析与解析信号密不可分,而Bedrosian定理在解析信号的构造中起到重要的作用.分数阶Fourier变换和线性正则变换为Fourier变换的推广.首先,证明了分数阶Fourier域上的Bedrosian定理.其次,进一步讨论线性正则变换域上解析信号的有关性质和Bedrosian定理。 (2)非线性Fourier原子为单位圆解析信号,其瞬时频率为正的.由Blaschke乘积得到的广义非线性Fourier原子为非线性Fourier原子的推广,其仍为单位圆解析信号.然而,其不具有正交性.本文通过对Blaschke乘积进行Gram-Schmidt正交化得到一组标准正交基函数,并给出了此类基函数的幅度和相位的具体表达式,证明了其为具有非负瞬时频率的圆解析信号.从而,任何复杂的信号就可被分解为不同的具有瞬时幅度和瞬时相位的解析信号的组合.这为利用非线性Fourier原子来分析非平稳信号提供理论基础。 (3)类似于经典的Fourier级数中的有关结论,有必要研究发散级数的求和法,以便我们能按某种意义给出一些发散级数的和.本文主要研究标准正交基函数构成Fourier级数的Cesaro平均求和法.在一定条件下,给出了block-Cesàro平均求和的核函数-Fejer核的具体表达式,解决了一般的Cesàro平均求和情形下的收敛性问题。 (4)基于已经构造的一种阶梯型滤波器,着重讨论在分数阶Fourier域中利用阶梯型滤波器来处理采样信号,从而得到与非线性Fourier原子相关的重构公式.此外,利用非线性Fourier原子定义了一种广义Zak变换,并讨论其有关性质,证明了广义Balian-Low定理。