21世纪是知识和信息的时代，数字通信和数字信号处理成为了这个时代的重要研究课题之一。其中压缩传感和数字图像恢复是信息处理领域中的重要技术，并在众多领域得到广泛应用，带来了巨大的经济效益。本文研究了压缩传感和图像恢复中的一些快速优化算法，其具体内容如下.(1)压缩传感是重要的通信手段，其关键技术之一是信号的重建，针对信号的稀疏重建问题，本文提出了一种变动步长的原始对偶临近点算法，相对于固定步长的临近点算法有更好的数值表现。算法的收敛性也在文中得到保证。(2)数字图像（或数字信号）在传输、存储、重建等过程中都不可避免地产生不同程度的退化（包括变模糊和受噪音污染），所以对退化图像进行恢复就成为了图像分析的预处理。而图像恢复的技术包括在空间域中和在小波域中操作。针对图像恢复问题，本文在空间域和小波域分别提出了固定步长和变动步长的原始对偶算法，数值实验表明所提的算法相对于一些较流行的算法来说很有竞争力，且在某些方面超过这些流行算法。所提算法的收敛性证明也包括在本文的工作中。(3)以上几类算法的提出离不开有效的数学工具，其中两个极为重要的工具就是单调变分不等式和临近点算法。本文讨论了解单调变分不等式问题的线性临近点算法，并提出了一类非线性临近点算法，从而把线性算法包括在一个更为一般的框架之中。本文讨论了这类非线性临近点算法的收敛性和计算复杂度。