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令x是一个非空的集合，x上的全体变换(按左乘作用)之集Tx关于映射的合成运算作成半群，称为X上的全变换半群。X的子集之间的所有双射之集合IX(包括空映射)关于如下运算：
α：A→B，β：C→D．
αβ：β-1(A∩ D)→α(A∩D)，αβ(x)=α(β(x))，构成逆半群，称为X上的对称逆半群，又称为X上的部分一一变换半群．所谓X上的保E变换半群就是
TE(x)={α∈TX：()x，y∈X，(x，y)∈E()(α(x)，α(y))∈E}．而X上的保E*关系部分一一变换半群就是
IE*(X)={α∈IX：()x，y∈X，(x，y)∈E()(αQ(x)，α(y))∈E}．
特别地，设x={1，2，…，n}是有限集合，f∈TE(X)，()A∈X/E(X的所有E—等价类之集)，记A={α1，α2，…，αn)，其中α1＜02＜…＜αn，若(f(α1)，f(α2)，…，f(αn))是一个循环序列，即至多有1个i使得f(ai)＞f(αi+1)，则称f为E类方向保序映射。TE(X)中E类方向保序变换半群是：
OPPE(X)={f∈TE(X)：f是E类方向保序映射}．
本文主要研究OPPE(X)和IE*(X)的若干性质．具体如下：
第二章主要刻画了OPPE(X)的Green关系和正则性．主要结论有：
定理2.1确定了L关系的两个等价条件，定理2.2给出了R关系的等价条件，定理2.4得到了D关系的等价条件．定理2.6与定理2.7分别给出了正则元的充分必要条件和OPPE(X)的正则性．
第三章主要讨论了OPPE(X)的秩．
为了方便讨论令X={1，2，…，nm)(n≥2．m≥2)为有限集合．E为X上的等价关系，满足
E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…(Am×Am)．其中Ai=[(i-1)n+1，in](1≤i≤m)．讨论了TE(X)中E类方向保序变换半群及其某些子半群的秩．主要结论是：
定理3.6 OPPE(X)=＜α，β，α，T，e＞．其中：α=(12…n)，e=(2/3)是TX上的幂等元，使2对应到1并且其他点都是不动点．
第四章讨论了IE*(X)的秩与极大逆子半群．有如下主要结论：
定理4.2与定理4.3给出了Green关系的等价条件．
定理4.8令f是Vnm-1中任意元素，IE(X)=＜α，β，a，b，f＞．
其中6=(12)是X上的对换， Vγ={f∈IE(X)，|imf|=γ}，0≤γ≤nm．
定理4.9令S是IE*(X)的一个极大逆子半群，那么S是下列情形之一：
(a)S=Knm-2∪Vnm
(b)S=Knm-1∪ G，G是Vnm的极大子群．
其中Kγ={f∈IE(X)，|imf|≤γ}，0≤γ≤nm。