谱方法是求解微分方程数值解的重要方法之一，在很多领域都得到了广泛的应用，但是在实际应用中还是受到了诸多因素的制约，如不能灵活的应用于复杂区域的计算．对于高维问题，计算量仍然很大，其导出的代数方程组的规模也很大，给求解造成了很大的困难．对于复杂区域问题，解决的办法之一就是将区域分解成若干个子区域，在每个子区域上使用谱方法，即谱元法；对于高维问题，解决的方法之一就是使用交替方向隐式方法(Alternating Direction Implicit Method，简称ADI).ADI方法把高维问题转化一系列独立的低维问题，从而降低原问题的规模，并且可以实现高度的并行化计算．　　 Schr(?)dinger方程是量子力学最基本的方程.在高能物理，非线性光学等领域都有着非常重要的应用．本文以Schr(?)dinger方程为模型，将区域分裂方法和交替方向隐式方法结合起来，求解二维微分方程.　　 本文的主要工作如下：　　 首先，时间方向采用Crank-Nicolson格式，本文建立了一维线性Schr(?)dinger方程的全离散Legendre-Galerkin谱元格式，并证明了格式在L2和H1意义下的稳定性和收敛性.由于谱元法中利用了区域分裂算法，算法的并行化显得尤为重要．根据算法的特点，选取适当的基函数，本文详细描述了算法的并行化求解过程.时间方向采用Crank-Nicolson蛙跳格式，本文还给出了相应的一维非线性Schr(?)dinger方程的全离散Legendre-Galerkin谱元格式．　　 其次，时间方向采用Crank-Nicolson(Crank-Nicolson蛙跳)格式，并利用算子分裂技巧，本文提出了一种交替方向Legendre-Galerkin谱元格式求解二维线性(非线性)Schr(?)dinger方程数值解.该算法的最大优点在于其计算的高度并行化，并且可以减少存储，这也是本文最重要的结果．该方法利用交替方向隐式方法(ADI)把二维问题转化为一系列独立的一维方程组，在求解一维方程组的过程中，再利用一维问题的区域分裂算法思想，把较大的方程组转化成四个更小规模的方程组，并且可以并行求解．对于线性情形，本文证明了该方法的最优H1误差估计．　　 最后本文做了充分的数值实验，由实验结果可以看出本文的方法在时间方向上具有二阶精度，空间方向上具有谱精度，和理论分析相吻合.通过单区域方法和多区域方法的比较还可以看出，多区域方法在计算量和计算精度上都具有一定的优势．