Farkas引理是一个经典的结果,是最优化方法中最为基础的工具之一.Farkas引理最早是由Farkas本人在1902年提出的.我们可以在大多数最优化教程中发现该引理的证明.如文献[2]中,早期证明类似于对偶单纯形法,但其证明并未考虑到可能出现的循环现象,因此并不完整.近期的证明通常基于凸集分离定理.该方法有一个简单和更直观的几何解释.本文给出了多种不同的证明方法,并给出了它的几种不同的等价形式.本文的主要目的是以Farkas引理为中心,对其不同证明方法及其各种等价形式做一个系统的整理.其中,其证明方法大体分成三类,即初等证明、几何证明和代数证明.除此之外,本文还给出了Farkas引理的几种不同的应用.它在很多方面都起着不可替代的作用,尤其是在非线性规划理论中起着重要作用,如表示最优解的Fritz John定理及Kuhn-Tucker定理均可由它导出.文中还给出了Farkas引理的一个简单的经济学解释实例,即Farkas引理可以表述为:风险中性概率的存在是无套利条件的结果.当然其应用方面远不止文中所提到的这些.希望以下的文章能使我们更好的理解和运用Farkas引理及其相关定理。