准格林函数方法与有限元法、边界元法以及无单元法等传统的数值分析方法相比有其自身的优点。近年来,国内外学者在准格林函数方法的研究方面已经取得了许多重要成果。准格林函数方法最早是由Rvachev提出的,并将此方法应用到泊松方程的边值问题中;袁鸿等将该方法推广到各种算子中,并应用于解决各种边界条件的多边形弹性板问题。在此基础上,本文提出了弹性地基上周边简支多边形薄板的准格林函数方法,进一步研究和发展了准格林函数方法。 本文首先综述了有限元法、边界元法等数值方法及其优缺点,总结了准格林函数的特点及优越性,介绍了准格林函数方法的实质;对几种弹性地基模型以及目前国内外弹性地基板的各种解析法、数值计算方法进行了回顾;并且介绍了准格林函数方法的研究和发展现状。 第二章对准格林函数方法在拉普拉斯(Laplace)算子、亥姆霍兹(Helmholtz)算子以及双调和算子等算子中的应用进行了综述。在力学、物理问题中,通常都包含有这类算子。 第三章分析了Winkler地基模型上简支多边形薄板的弯曲问题,本文从Winkler地基上简支多边形薄板弯曲问题的控制微分方程出发,利用中间变量,将原问题的微分方程分解为两个耦合的低阶微分方程;并通过变量代换,将原问题的非齐次边界条件转化为齐次边界条件的边值问题。为了便于计算结果的比较,引入了无量纲量,将原问题化成了无量纲方程。利用基本解构造一个准格林函数,这个函数必须满足齐次边界条件。根据格林公式,利用准格林函数以及边界条件,将微分方程化为积分方程。得到的积分方程中的积分核具有奇异性,根据R-函数理论,可以选择适当的边界规范化方程,消除核的奇异性。对积分方程进行数值离散,并用适当的数学方法对奇异项进行处理。通过对整板采用不同数量网格划分,验证了准格林函数方法在分析Winkler地基模型上简支多边形薄板弯曲问题的收敛性。本文还计算了各种不同形状简支板的挠度,检验了准格林函数方法的有效性和可行性。 第四章用准格林函数方法分析Pasternak地基模型上简支多边形薄板的弯曲问题,其基本原理与分析Winkler地基板相似,只是在公式中多了一项。为了检验准格林函数方法在分析Pasternak地基模型上简支多边形薄板弯曲问题的有效性和可行性,采用了