在对标量和四元素值L~2-函数的实Paley-Wiener定理(以下简称QFT)的研究总结后,本文推广并证明了 R~2函数上四元素值Schwartz函数和Lp-函数的四元素傅里叶变换的实Paley-Wiener定理。首先,在经典傅里叶变换下,基于反演定理的基本方法,我们系统地研究了Rd上Schwartz函数,Lp-函数和分布下傅里叶变换的实Paley-Wiener定理。作为一个应用,我们展示了如何通过不涉及域移位的方法实现经典的Paley-Wiener定理的证明。我们首先针对Schwartz函数来展开研究其实Paley-Wiener定理。其次,我们对QFT在四元素领域方面进行了相关研究,并且给出了QFT在实际应用中的一系列相关性质。不同形式的QFT会使我们推导出不同的Plancherel定理和Parseval定理,这些定理在后面的定理证明中发挥了重要的作用。与经典傅里叶变换的实Paley-Wiener定理相比,四元素傅里叶变换在f∈F2(R~2 H) 上的实Paley-Wiener可以更直观地表示为:通过在IR~2上偏导数的范式来描述四元素傅里叶变换具有紧致集。最后,经典的Paley-Wiener定理描述了L~2空间上函数的傅里叶变换。这个函数是L~2空间上指数型的整函数,并且其支集支在一个有限的对称区间上。经典的Paley-Wiener定理在各种变换中得到了广泛_的应用。最近,通过B ang的实Paley-Wiener定理和Fu的文章的学习,我们想到把L~2 (R~2; H)上的Paley-Wiener定理扩展到Lp(R~2;H)空间上。这里首先遇到了一个问题,当p≠ 2时,没有关于QFT的Plancherel定理。这里我们用de Jeu文章中Lp(Rd;空间中Paley-Wiener定理的方法,即利用关于Lp核逐点逼近思想。另外四元素H的非交换性,我们就不能直接把经典傅里叶变换上的卷积运算推广到四元素域。为了克服这个困难,我们利用调和分析中恒等逼近思想。通过对之前L~2空间中四元素傅里叶变换实Paley-Wiener定理的研究,我们证明了实Paley-Wiener定理对于四元素在Lp空间上也是成立的。