【摘 要】
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生命科学和社会科学等领域中具有一些客观存在的现象,例如趋化效应和非局部效应.这些现象的存在使得生态环境变得更加丰富多彩.因此,对这些现象的研究有利于理解一些复杂行为的形成机制.对于这些效应的研究,一种有效的途径就是建立数学模型,主要是反应扩散模型.这也是近年来许多数学研究者感兴趣的方面.然而,带有趋化效应的数学模型的解在有限时间内可能产生爆破,带有非局部效应的数学模型,标准的比较原理不再成立.因此
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生命科学和社会科学等领域中具有一些客观存在的现象,例如趋化效应和非局部效应.这些现象的存在使得生态环境变得更加丰富多彩.因此,对这些现象的研究有利于理解一些复杂行为的形成机制.对于这些效应的研究,一种有效的途径就是建立数学模型,主要是反应扩散模型.这也是近年来许多数学研究者感兴趣的方面.然而,带有趋化效应的数学模型的解在有限时间内可能产生爆破,带有非局部效应的数学模型,标准的比较原理不再成立.因此,对这些现象进行研究有利于推动数学理论的发展.本文将通过对几类带有趋化效应和非局部效应的数学模型的动力学行为进行研究,主要内容分为以下四个部分:（1）研究具有食饵趋化效应的一类捕食食饵模型,其中食饵趋化具有volume-filling效应,主要目的是研究种群扩散系数和食饵趋化参数对系统非常数稳态解的影响.首先,我们研究系统常数平衡点的稳定性,利用构造Lyapunov函数的方法证明边界平衡点和内部平衡点的全局稳定性;然后,给出系统解的一些先验估计;最后,运用一些不等式技巧得到系统非常数稳态解的不存在性条件,运用锥上的不动点定理获得系统非常数稳态解的存在性条件.（2）研究具有两种化学信号的双种群趋化竞争模型,其中种群的扩散系数是一个关于各自信号的函数,并且存在退化的可能性.主要目的是研究系统解的全局存在性以及解的长时间行为.首先,我们将扩散函数视为权函数,利用能量估计方法得到系统经典解的全局存在性;然后,在不同的种群竞争强度下,通过构造Lyapunov函数的方法研究系统解的长时间行为.最后,利用线性稳定性分析和数值模拟,发现对于不同的信号产出机制,系统会显现不同复杂的时空斑图行为.（3）研究一类带有非局部作用的捕食食饵模型,主要目的是利用Lyapunov-Schmidt约化研究系统分支行为.首先,我们给出系统常数平衡点的稳定性分析,给出非局部效应对系统正平衡点稳定性的影响;然后,利用Lyapunov-Schmidt约化研究系统的稳态分支,得到系统非常数稳态解的存在性,多重性和稳定性;结合Lyapunov-Schmidt约化,隐函数定理以及S1-等变理论,研究系统的Hopf分支,得到分支时间周期解的稳定性和分支方向;同时,我们运用Lyapunov-Schmidt理论给出系统的Fold-Hopf奇异性的简单刻画;最后,给出一个数值模拟.（4）研究三类不同边界条件下的双非局部时间周期空间异质Fisher-KPP模型,主要目的是研究系统解的一致持续生存以及系统时间周期正解的存在性,唯一性以及稳定性.首先,我们利用算子半群理论以及一个新的上下解定义得到解的全局存在性和有界性;然后,利用迭代的方法以及非局部扩散方程的标准比较原理,我们得到解的一致持续生存;最后,给出在三种不同条件下的时间周期正解的存在性,唯一性以及稳定性.
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