有限元方法在工程技术中有着广泛的应用，也是求解微分方程的重要数值方法。非协调有限元方法在解决流体和固体力学问题时可以获得稳定的数值解，例如求解线性或非线性Stokes问题以及与弹性力学相关的问题等。近年来非协调有限元方法越来越多地引起了科学家和工程师们的关注，并将这种有限元方法应用于更广的领域。尽管在有限元方法中经常使用三角形单元，但当求解问题的区域边界具有四边形特征时，特别是在三维空间的情形，人们更希望使用某种适当的四边形有限元。 本文基于Luo和Sheen提出的任意四边形网格上的一种新的二次非协调有限元，应用这种有限元求解二维空间中的二阶椭圆问题，估计该有限元在求解椭圆问题时的误差。在误差估计中首先运用变分原理将椭圆方程边值问题转换成相应的变分问题，然后运用Strang第二引理估计变分问题的二次非协调有限元方法的解与变分问题的弱解之间的误差，运用对偶论证法估计这两种解在L2.范数下的误差。本文最后得到了这种有限元求解二阶椭圆方程Dirichlet边值问题和Robin边值问题在能量范数和L2-范数下的最优误差估计。两种边值问题在能量范数下的误差均为O(h2)，在L2-范数下的误差均为O(h3).