分数阶积分微分方程是在处理实际问题时应运而生,在工程模型和物理现象中极其常见,比如化学反应扩散、弹性力学、热传导方面、种群生态模型、控制理论和生物化学等。近年来,随着科学技术的迅猛发展,分数阶积分微分方程在解释许多现象等方面起着重要的作用。一方面,分数阶积分微分方程在众多学科领域有着广泛的应用,在实际应用中,有时数值解比解析解更为需要;另一方面,这类方程很难得到解析解。因为对积分微分方程数值解的研究必然会促进与该学科如算子理论、函数逼近论等相关理论的发展,因此,探究方程的数值算法成为定性地研究此类方程的一个重要手段,而如何构造高精度的数值算法需要进一步的探究。本文第二章,研究了带有弱奇异核的分数阶积分微分方程的数值解法。值得注意的是,找到了包含方程真解的最小空间:分数阶C~α空间,并给出此空间的一组稠密子集。进一步讨论了方程e-近似解的存在性,同时进行收敛性证明和误差分析。文章的最后,通过数值算例,证明本文方法的准确性及高效性。本文第三章,基于分数阶C~α空间,提出了一种新的算法,用于求解分数阶比例延迟微分方程,并建立了一套完整的理论体系。最后,数值实验结果表明本文所提出的算法适用于获得较高精度的数值解且易于操作。本文第四章,基于分数阶C~α空间,给出二维分数阶C~α空间的概念并得到其一组稠密子集。本文以配置法为根据,讨论了变系数时间分数阶对流反应扩散方程的数值解法,并进行数值实验。本文研究的方法通过少量计算就能达到实际应用所需的数值精度。本文分别讨论了三种不同的分数阶积分微分方程,基于分数阶C~α空间的性质,提出新的数值算法。新算法容易操作,且能获得高精度的数值解。