正规性是复分析中的一个重要研究课题，国内外许多学者对此作出了大量卓越的贡献，研究出了许多重要的成果。本文主要研究fnf—a的零点问题和相关的亚纯函数的正规族问题。许多数学家在这方面已经做了很多讨论和研究，并得到了很多重要的结论。1959年，W.K.Hayman[41]提出了猜想：如果f为复平面C上的一个超越亚纯函数，则对于任意的n，fnf可以取任意的非零有穷复数无穷多次.这个猜想引发了许多数学家的广泛研究和讨论，首先Hayman[41]自己证实了当n≥3时上述猜想成立，而E.Mues[42]进一步证明了n≥2时猜想成立.在[46]中，Hayman还证明了对于整函数，f，当n≥2时亦有上述猜想成立.J.Clunie[43]则进一步证得了对于整函数，f，当n≥1时亦有上述猜想成立.W.Bergweiler and A.Eremenko[41]证明了当n=1且f有有穷级时猜想成立，最后，在1995年，陈怀惠和方明亮[31]考虑了Hayman的猜想n=1的情况，证明了：如果，f（z）为复平面C上的超越亚纯函数，那么，f（z），f（z）可以取任意有穷非零复数无穷多次.1992年，王跃飞[30]在另一方面又证明了；如果，f（z）为复平面C上的—个超越亚纯函数，n≥3，k≥0是两个整数，那么（fn（z））k可以取任意的非零有穷复数无穷多次。1995年，方明亮[32][33]证明了下述结果：f是C上的—个亚纯函数，n是一个正整数（n≥2），b是一个非零常数.如果fnf≠b，则，是—个常数；如果f是—个超越亚纯函数，则fnf可取每—个有限非零值无限多次.很显然我们可以得到推论：若f为C上的非常数亚纯函数，则fnf—a（a≠0，∞）必有零点。 根据Bloch原理，可以将以上结论与正规族理论联系起来，得到一系列相应的正规定则。许多著名的数学家已经得出了一系列此类正规定则。根据上述的值分布领域的结果，Hayman[45]提出了猜想：设F为区域D（D（）c）上的一族亚纯函数，n是—个正整数，a是—个有穷非零复数，对于任意的，f∈F，满足fnf≠a，则F正规。同样的，根据Hayman的猜想，众多知名数学家进行研究，分别证实了不同条件下此猜想的成立。最近，张庆彩[89]将上述定理与分担值联系起来，得到了：设F为D上的一族亚纯函数，n为一个正整数，a，b为两个常数（a≠0，b≠∞）.如果n≥4，且对F中（）f，g，有.f—afn与g—agn分担值b，则F在D中正规。受到前人的启发，在本文中，我们继续讨论研究fnf—a的零点问题，并根据Bloch原理，运用到亚纯函数的正规族问题中，推广得到了几个正规定则。本研究分为五个部分： 第一章，我们给出本文所需要的一些基础知识，亚纯函数正规族理论方面的一些基本定义和记号，以及正规族理论的一些重要结果。 第二章，我们给出了本文的主要结果和相关理论背景，主要证明了定理1：f是C上的一个非常数亚纯函数，则当n≥2时，fnf—a（a≠0，∞）至少有两个零点；当n=1且，只有复零点时，fnf—a（a≠0，∞）至少有两个零点.定理2：f是C上的一个非常数亚纯函数，f（k）不恒为零，则当n≥k+1时，fnf（k）—a（a≠0，∞）至少有一个零点，显然定理1是定理2当k=1时的特殊情况。 第三章，我们讨论了定理1，2在正规定则证明中的应用，推广得到了四个正规定则。①设F为区域D上的一族亚纯函数，n为一个正整数，a，b为两个常数（a≠0，b≠∞）.如果n≥4时，对F中（）f，和g，有f—afn与g—agn分担值b；或者当n=3时，对于（）f∈F都只有重极点，且对F中（）f和g，有f—afn与g—agn分担值b，则F在D中正规。②设F为区域D上的一族亚纯函数。n为一个正整数，a，b为两个常数（a≠0，b≠∞）.如果n≥2时，对F中（）f和g，有fnf—a与gng—a分担值0；或者当n=1时，对于（）f∈F都只有重零点，且对F中（）f和g，有fnf—a与gng—a分担值0，则F在D中正规。③设F为区域D上的一族亚纯函数，k为—个正整数，如果，f（k）不恒为零，且对于n≥k+1，有fnf（k）—a≠0，则F在D中正规。④设F为区域D上的一族亚纯函数，k为一个正整数，f（k）不恒为零，n≥k+1，a，b为两个常数（a≠0，b≠∞）.如果对F中（）f和g，有fnf（k）—a与gng（k）—a分担值b，则F在D中正规。 第四章，我们给出了定理1，2的证明过程。 第五章，我们利用定理1，2，分别证明了定理3，4，5和定理6。