20世纪40年代俄罗斯数学家Kolmogorov考虑了具有平稳增量和自相似性质的连续高斯过程，之后H.E.Hurst经过长时间的研究称上述高斯过程是参数为H，(0＜H＜1)的分数布朗运动. 因为分数布朗运动具有长时间的记忆性，而不具有鞅和Markov性. 21世纪前后许多学科(尤其在金融,物理，控制理论和生物)中出现了由分数布朗运动驱动的随机微分方程来刻画的数学模型. 这类方程的出现给随机分析这一领域极大的刺激，开始引起很多学者的兴趣,并成为随机分析领域最活跃的分支之一.　　 在本文中，我们首先对分数布朗运动及其有关性质进行了研究. 其次,在一类非Lipschitz条件下证明了由分数布朗运动驱动的随机微分方程解的具有轨道唯一性.　　 最后，我们把分数布朗运动驱动的小扩散系数随机微分方程转化为常微分方程，然后利用常微分方程存在爆破的充要条件和关于爆破时公式，证明了由布朗运动驱动的小扩散系数随机微分方程的爆破的存在性以及爆破时极限的值.