本文第一部分研究了取值于Banach空间中的独立或ψ*混合随机变量及它们的几何加权序列和U—统计量的广义重对数律．一直以来，重对数律都是概率极限理论中一个人们非常感兴趣的课题，它是强大数律的精确化，很多经典的概率统计方面的教科书都对它有许多篇幅的介绍．经典的重对数律都要求变量序列的二阶矩存在．而随着研究的深入，人们总是希望能够在最少的条件下得到理想的结论．基于最近几年的文献，我们对上述各种情形，都探究了在其二阶矩可能无穷的条件下的广义重对数律，在一定程度上推广了前人的结果．　　 本文第二部分研究了Banach空间中的紧随机集与模糊随机集在Hausdorff度量下的强大数律．在研究经济均衡与对策问题以及生活中，我们经常会遇到随机集与模糊性的问题，而以往对它们的研究大多是集中在序列方面．在这里我们考虑了紧随机集与模糊随机集的组列，以及它们关于缓变函数加权的强大数律的充分(必要)条件．　　 强逼近是概率极限理论中非常重要的结果，在统计推断中非常有用．本文第三部分从Banach空间退回到了有限维实空间上，并且在二阶矩可能为无穷的条件下，分别对独立随机变量修整和以及ψ混合随机向量部分和建立了广义强不变原理．最后，我们对常用的L—统计量也建立了一个类似的广义强逼近定理．　　 本文最后一部分则是跟取值于某度量空间(比如，Rp空间，Banach空间，Hilbert空间，C[0，1]空间等)的泛函数据有关．对多元非参数回归以及条件风险率函数，分别提出了泛函条件U—统计量和泛函条件风险率估计，并且研究了它们的渐近性质．