【摘 要】
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奇异摄动模型是物理,生物以及应用数学等自然科学中广泛存在的一类问题.例如,天体力学中的太阳-地球-月球三体问题,流体力学中的边界层问题,极端条件下病毒的传播等都可以看作是不同形式的奇异摄动问题.早在19世纪末,Poincare就运用“小参数法”和幂级数理论对三体问题进行了系统的研究,由此开启了奇异摄动理论的研究历史.该理论的主要思想是,对含小参数的数学模型,利用系统的时间尺度特性,将系统分解为两个
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奇异摄动模型是物理,生物以及应用数学等自然科学中广泛存在的一类问题.例如,天体力学中的太阳-地球-月球三体问题,流体力学中的边界层问题,极端条件下病毒的传播等都可以看作是不同形式的奇异摄动问题.早在19世纪末,Poincare就运用“小参数法”和幂级数理论对三体问题进行了系统的研究,由此开启了奇异摄动理论的研究历史.该理论的主要思想是,对含小参数的数学模型,利用系统的时间尺度特性,将系统分解为两个或多个低阶系统,求出相应低阶系统的解,进而构造出原系统起主导作用部分的近似解并解释相应的变化现象.迄今为止,奇异摄动理论的研究和应用已经几乎覆盖了所有的学科领域,包括边界层、反应扩散、量子力学、等离子物理学、热力学、海洋科学、生态学、工程学以及社会经济学等各个方面.近年来,随着人们对群聚现象研究的不断深入,很多不同尺度情形的群聚模型也不断地被提出来,并受到生物学家,应用数学家们的高度关注,这方面的一个重要工作是,2012年Seung-Yeal Ha等人对带小参数经典Cucker-Smale模型的研究,他们利用经典的奇异摄动方法给出了系统在一定条件下的群聚结论,即相互作用的个体速度最终都会达到一致.本文的主要工作将聚焦于一类带有Rayleigh摩擦项和小参数摄动Cucker-Smale模型的群聚问题,我们将结合经典动力系统理论以及奇异摄动测度方法,对所考虑系统群聚状态的局部动力学性质进行较为深入的分析.全文一共分为三章,第一章是引言,简要介绍本文研究问题的背景及其主要结果;第二章是预备知识,简要介绍了本文需要用到的基本概念和理论;第三章是文章的主要部分,我们将利用奇异摄动理论讨论带有Rayleigh摩擦项Cucker-Smale多尺度模型的动力学性质,并给出相应群聚解族的局部稳定性结果.
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