研究数量曲率对流形拓扑的控制,一直是微分几何中一个重要而又困难的问题。由于Kazdan和Warner的工作,我们主要关心在流形上带正数量曲率的度量的存在问题。长久以来,直是这方面仅有的主要结果。在这篇文章中,作者Lichnerowicz利用Atiyah-Singer指标定理给出了在spin流形上正数量曲率存在的一个拓扑障碍。在80年代早期,Gromov和Lawson受Lichnerowicz工作的启发,将基本群对于流形曲率的影响引入了这一问题,通过定义所谓的enlargeability概念并利用指标技术,极大的推广了Lichnerowicz的结果。特别是他们解决了非常重要的两个问题：环面Tn上正数量曲率度量的分类问题和彻底分类何种三维流形可以赋予正数量曲率度量的问题。同时,在[6]中,他们又研究了单连通流形、特别是维数不小于5的单连通流形上正数量曲率的存在问题,并提出了著名的Gromov-Lawson猜想。这一猜想随后被Stolz以拓扑的方法加以解决([28])。配合在[6]中关于非spin流形上正数量曲率度量的存在性的结果,我们将维数不小于5的单连通闭流形上正数量曲率度量的存在性问题彻底的转化为某一个KO-示性数的计算问题。 在本文中,利用Gromov和Lawson发展起来的一系列技术,我们研究了两类特殊的流形,即复完全交和3维K(π,1)型流形上的S1丛,并得到了以下结果：Theorem 0.1.令Vnd1,…,dr表示由次数分别为{d1,…,dr}的齐次多项式定义的n维完全交,那么Vnd1,…,dr可以赋予一个带正数量曲率的黎曼度量,当且仅当：i)当n=1时,{d1,…,dr}={(1,…,1)};ii)当n=2时,{d1,…,dr)={(2),(3),(2,2),(1,…,1)};Ⅲ)当n=2k,k>1时,n+r+1-∑di为一个奇数,或者n+r+1-∑di为一个正的偶数;iv)当n=4k+1,k≥1时,如果4k+r+2-∑di是一个偶数那么∑(4k+r±d1±…dr-1+dr)/24k+r+1)≡0 mod2(这里我们对±d1±…±dr-1+dr的所有可能求和),或者如果4k+r+2-∑di是一个奇数那么{d1,…,dr}没有限制,。v)当n=4k+3,k≥0时,{d1,…,dr)没有限制。Theorem 0.2.令M表示一个K(π,1)型的3维流形,即当i>1时我们有πi(M)=0。 同时令E表示M上某个S1-主丛。那么E不能被赋予一个带正数量曲率的黎曼度量。定理0.1的证明主要分成两部分：在第一部分,也就是n≤2的情况里,我们利用了Taubes([29])关于Seiberg-Witten不变量的工作和复1、2维完全交流形的若干分类结果,具体找出了可以赋予正数量曲率度量的完全交的例子。在高维情况,由于Stolz对Gromov-Lawson猜想的证明和Gromov以及Lawson关于非spin流形上正数量曲率度量的存在问题的肯定结果,问题归结为对spin型完全交示性数(o)的计算。我们针对(o)示性数的周期特点,分别对n≡0,2 mod 4以及n≡1 mod4进行了计算,并最终得到了定理0.1。定理0.2的证明主要是试图在流形E中找到-个不可压缩的环面T2,并利用这个T2来构造在[8]中定义的的bad end,进而证明正数量曲率度量的不存在性。值得一提的是,本文作者指出了Gromov和Lawson文章[8]中定理7.47证明过程中的一处疏漏,并针对定理0.2中所讨论的情形补全了证明。 同时,本文中还包含有作者对于流形SU(3)/SO(3)不是spinc流形这一命题的-个证明。