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在拓扑学这个数学领域里,一致空间是指带有一致结构的集合,是一种特殊的拓扑空间,可以用来定义很多一致性质的结构。一致空间与拓扑空间和度量空间存在密切的联系,因此一致空间成为联系拓扑空间和度量空间的重要纽带。本论文通过非标准分析的方法对一致空间进行了研究,结论如下。 (1)借助格集的定义,刻画了一致空间上函数的一致收敛,证明了如果函数序列 fn一致收敛于f,且每个函数在一致空间上连续,则 f在一致空间上也连续。 (2)定义了一致空间上函数的U?微连续性、U?等度连续性、rs?连续性及U?*?连续性;给出了用格集来刻画U?微连续性的等价命题;证明了f为一致连续当且仅当f为U?微连续,{|}nf n?N?为U?等度连续当且仅当fn是U?微连续及 f是rs?连续的,则f是U?微连续的等上述四种非标准连续性之间的关系。 (3)通过紧一致空间的非标准刻画,证明了如果 f在紧一致空间上是连续的,则是一致连续的,在紧一致空间上{|}nfn?N?一致收敛于 f当且仅当{|}nfn?N?是U?等度连续的。并利用U?微连续的概念及内函数定理,证明了一致空间上函数的逼近定理;进一步讨论了一致空间上紧映射的性质;为以后研究一致空间奠定了基础。 (4)证明了Cauchy滤子与一致结构单子之间的关系;对Cauchy网的聚点进行了非标准刻画。并利用非标准分析的方法刻画了Cauchy网收敛,证明了若Cauchy网收敛当且仅当Cauchy网存在一个聚点,更进一步的证明了一致空间完备当且仅当一致空间中的任一Cauchy网{,}nS n?D,存在*D中的无穷大元p,使得Sp是近标准的。这又推广了一致空间完备性的非标准刻画。