众所周知,著名数学物理学家牛顿和莱布尼兹在17-18世纪创立的微积分学在近代和现代科学研究中得到了广泛的运用,并取得了一系列辉煌的成就：二体问题的解决、海王星的发现,都是微分方程成功应用于质点动力学的壮丽篇章。随着分析力学的发展,人们开始关心并研究连续变化的介质,如弦振动、弹性固体形变、流体力学等复杂力学现象的规律,进而得到了很多偏微分方程模型。近年来,随着科学技术的迅速发展,偏微分方程已被广泛地应用于气象、机械、电信、化工、生态、经济、人口和其他社会科学的各个研究领域。如何合理解释这些偏微分方程的动力学行为是研究者的主要目标,而寻求它们的精确解,研究其各类解的性质也成为科学工作者的重要课题。本文主要运用首次积分法,深入研究了一些重要的偏微分方程,得到了它们的新的精确解。首次积分法[1]是冯兆生教授在2002年求解B urgers-KdV方程中被第一次提出的求解非线性偏微分方程的有效方法。首次积分法以环交换理论为基础,把偏微分方程通过行波变换,将其化为具有首次积分的常微分方程,再求出常微分方程的解,从而得到偏微分方程的孤立波解、指数函数解、三角函数解和其他精确解。目前,首次积分法被广泛用于求解非线性偏微分方程。例如Raslan [2]应用首次积分法求解Fisher方程,Abbasbandy和Shirzadi[3]求解了Benjamin-Bona-Mahony方程通过使用首次积分法,Tascanetal[4]使用首次积分法求得Zakharov-Kuznetsov方程和ZK-MEW方程的解。首次积分法的显著优点是把求偏微分方程的过程化为求常微分方程的首次积分。本文共分为四章。第一章,介绍了偏微分方程的发展及其广泛应用,分析了目前求偏微分方程精确解的研究现状及求解方法。第二章,分析首次积分法的基本原理,并归纳、总结了运用首次积分法求偏微分方程的精确解的基本步骤。第三章,运用首次积分法求出一些重要的偏微分方程的精确解。运用首次积分法求得了广的Whitham-Broer-Kaup(WBK)方程[5-6]、一类常系数非线性偏微分方程[7]、拓展的Drinfeld-Sokolov方程组[8-9]、一类非线性偏微分方程[10]、推广的Mikhailov-Shabat(MS)方程组[11-12]和推广的PHi-four方程[13-16]在不同情况下的精确解。第四章,对本文研究工作及对首次积分法的未来应用进行总结和展望。