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本文我采用了Mironenko[1]创建的反射函数法研究了双摆振动系统(x1x2)=A(t)(x1x2)(1)(y1y2)=B(t)(y1y2)(2)的同相振动性.其中A(t)=(aij(t))2×2，B(t)=(bij(t))2×2.
假设F(t)，G(t)分别为(1)(2)的反射矩阵.当A(t+2ω)=A(t)，B(t+2ω)=B(t)时，由[1][2]知矩阵F(-ω)，G(-ω)分别相似于(1)(2)的根本矩阵，则若特征方程|λE-F(-ω)|=0(3)|μE-G(-ω)|=0(4)具有相同的特征根，则(1)(2)的稳定性相同.
在本文中我给出了特征方程(3)(4)具有相同特征根的充分条件.通过深入研究得到如下结论：
结论1.若存在可微矩阵函数满足1)T(-t)=T(t)，2)T(t)=B(t)T(t)-T(t)A(t)+α(t)T(t)，则T(t)F(t)=G(t)T(t).这里的α(t)为连续的奇的纯量函数.
结论2.若存在可微矩阵函数满足1)T(t)[A(t)+A(-t)]=[B(t)+B(-t)]T(t)，2)T(t)=B(t)T(t)-T(t)A(t)+α(t)T(t)，则T(-t)=T(t)，T(t)F(t)=G(t)T(t).这里的α(t)为连续的奇的纯量函数.
结论3.若结论1或结论2的条件成立，且微分系统(1)(2)都是2ω-周期系统，且T(ω)可逆，则此时(1)与(2)零解的稳定性相同.
结论4.若BT(t)-A(-t)=η(t)M(t)，M(t)=M(t)A(-t)-A(-t)M(t)+m∑k=1γk(t)Mk(t)，则F(t)=GT(t).其中η(t)，rk(t)(k=1，2…m)为连续的奇的纯量函数.
结论5.若BT(t)-A(-t)=m∑k=1αk(t)Mk(t)，M(t)=M(t)A(-t)-A(-t)M(t)+m∑k=1γk(t)Mk(t)，则F(t)=GT(t).其中αk(t)，rk(t)(k=1，2…m)为连续的奇的纯量函数.
结论6.若结论4或结论5的条件成立，且微分系统(1)(2)为2ω-周期系统，则它们的稳定性相同.
结论7.若A(t)+B(-t)=m∑k=1αk(t)Nk(t)，N(t)=A(t)N(t)-N(t)A(t)+m∑k1βk(t)Nk(t)，则F(t)=G(-t).其中αk(t)，βk(t)(k=1，2…m)为连续的奇的纯量函数.
此外，若A(t+2ω)=A(t)，B(t+2ω)=B(t)，∫ω0trAe(t)dt=∫ω0trBe(t)dt=1，则微分系统(1)(2)的稳定性相同.
结论8.若B(t)-A(t)=m∑k=1αk(t)Mk(t)，M(t)=A(t)M(t)-M(t)A(t)+m∑k=1βk(t)Mk(t)，则F(t)=G(t).其中αk(t)，βk(t)(k=1，2…m)为连续的奇的纯量函数.
此外，若A(t+2ω)=A(t)，B(t+2ω)=B(t)，则微分系统(1)(2)的稳定性相同.
结论9.若A(t+2ω)=A(t)B(t+2ω)=B(t)，trAe(t)=trBe(t)，且下列条件成立：(公式略)则(1)(2)的零解的稳定性相同.
最后，我们给出了具体的例子来说明上面结论的正确性.