在化学领域,共轭碳氢化合物的形成的实验热度与总的π-电子能量紧密相关。在HMO近似结构下,对所有共轭碳氢化合物的π-电子的总能量的估算可以归结为对E=E(G)=n∑i=0｜λi｜ (0.0.1)的估算,这里λi是对应分子图G的特征值。对所有图我们也同样定义等式(0.0.1)右边。如果G是任意的一个图,我们利用上面等式来定义E(G)并称之为图G的能量。图的谱宽被定义为s(G)=maxi,j｜λi-λj｜,这里的最大是遍历所有对图G的特征值。作为图G的一个不变量,谱宽与其它不变量之间有许多联系。刻化满足某些给定条件和具有极值谱宽的图是谱宽研究的一个重要方向。本博士论文的主要任务是考虑图的能量和谱宽。 本文的2.1节我们讨论在所有连通的(n,m)二部图(也就是有n个顶点和m条边的二部图)中能量最小的图。设Bn,m是一个具有n个顶点m条边的连通二部图,且在它的一个仅由两个顶点构成的部中,有一个顶点与另一部其它点都相邻,剩下的边与另一个顶点关联。设Bn,m是在Bn-1,m-1的第二大度点上连-悬挂边而成的图。在这一节我们首先完全解决了由Capoossi等人提出的关于具有最小能量的二部图猜想,证明了在所有连通的(n,m)二部图(n≤m≤2(n-2))中Bn,m是能量最小的图。其次,当n≤m≤2(n-2)时,对于连通(n,m)二部图我们给出了能量的一个下界：E(G)≥2√m+2√(m-n+2)(2n-m-4),上式等号成立当且仅当G≌Bn,m。最后,我们还证明了当n≤m≤2n-5时,Bn,m是能量第二小的(n,m)二部图。 1999年张福基和李怀恩确定了在所有含n个顶点且有完美匹配的树中能量最小的树。本文的2.2节我们考虑含2k个顶点且具有完美匹配的单圈图。设U(k)是所有具有2k个顶点和完美匹配的单圈图的集合,M(G)是图G的一个完美匹配。设U0(k)是U(k)的一个子图类,是由U(k)中所有g(G)≡0(mod4),且M(G)中恰有g/2条边在Gg(G)中,Gg(G)中还有一些E(G)M(G)的边的图所构成的图集。在2.2节我们分别确定了U*(k)=U(k)U0(k)中能量最小,第二小的图和U0(k)中能量最小的图。最后,我们给出了一个U(k)中能量最小的图的猜想。设Bn是二部双圈图中所有不是由两个圈Ca和Cb(a,b≥10且a≡b≡2(mod 4))连一边而成的图的集合。设Pn6,6是由两个圈长为六的圈连一条n-10顶点的路而成的图。在第二章的第三部分我们部分解决了由Gutman等人提出的最大能量图的猜想,证明了Pn6,6是Bn中能量最大的图。 在第二章的第四节我们考虑了它们的能量不超过顶点数的连通图(我们称之为次能量图),证明了在具有最大度不超过3的树中除了四棵树之外不再有次能量树,部分解决了Gutman近来提出的一个问题。 近来,Gregory等人对所有n个顶点m条边和k个正的特征值的图给出了谱宽的一个上界,并刻化了达到上界的图。令V(n,k)表示最大匹配为k有n个顶点所有单圈图的集合,U*(n,k)是U(n,k)中不含三圈的图所构成的子集合。在3.1节我们分别确定了在U*(n,k)中谱半径最大,次大的图和U(n,k)中谱宽最大的图。 我们表示Bn为所有n个顶点的双圈图的集合,Bn1为Bn中恰有三个圈的子图集,设Bn2=BnBn1,是Bn中所有恰有两个边不交的圈的图所构成的图集。在3.2节我们首先分别确定了在Bn1中最小特征值最小,第二小的图,Bn2中最小特征值最小的唯一图和Bn中最小特征值最小,第二小,第三小的图。然后我们分别确定了Bn1,Bn2中谱宽最大的图和Bn中谱宽最大,第二大的图。最后我们给出了双圈图最小特征值的一个上界。