竞赛图作为有向图中特殊的一类图,自然成为研究与有向图相关问题的重要对象之一.随着局部半完全有向图的概念和全面分类的提出(特别地,无2-圈的局部半完全有向图是局部竞赛图),作为竞赛图的推广图,局部竞赛图成为继竞赛图之后的重点研究对象之一.在竞赛图中已经解决的问题,研究者往往会在局部竞赛图中继续探究.圈和二次邻域问题一直是图论学者们研究的重点,本文将在局部竞赛图中继续研究竞赛图中已经被解决的一些关于圈和二次邻域的如下问题:1981年,Bermond和Thomassen提出猜想:对任意正整数r,最小出度不小于2r-1的有向图中至少存在r个点不交的圈.1990年,Seymour提出猜想:定向图中总存在一点,满足它的二次外邻的个数不少于外邻的个数.2006年,Sullivan提出猜想:(1)定向图中总存在一点,满足它的二次外邻的个数不少于内邻的个数;(2)定向图中总存在一点,满足它的二次外邻与外邻的总个数不少于内邻的个数的2倍.特别地,在竞赛图中,2010年,Lichiardopol提出猜想:对任意正整数q≥3和r≥1,最小出度不小于(q-1)r-1的竞赛图中至少存在r个点不交的q-圈.因为Bermond-Thomassen猜想和Lichiardopol猜想都是与圈有关的猜想,所以本文主要在局部竞赛图中研究点不交的圈,Seymour猜想,Sullivan猜想,共分为四章.第一章是绪论.介绍有向图的基本概念,局部竞赛图的定义和结构,以及本文内容的安排.第二章,在局部竞赛图中研究Bermond-Thomassen猜想,通过证明得到:(a)Bermond-Thomassen猜想对局部竞赛图是成立的,即任意正整数r,最小出度不小于2r-1的局部竞赛图中至少存在r个点不交的圈.在竞赛图中研究Lichiardopol猜想,通过证明得到:(6)当r ≤ 3时,Lichiardopol猜想是成立的,即对任意正整数r,q ≥ 3,最小出度不小于(q-1)r-1的竞赛图中至少存在r个点不交的q-圈.第三章,在局部竞赛图中研究Seymour猜想.为了表示方便,称满足Seymour猜想的点为Seymour点.通过证明得到:(a)圆可分解的局部竞赛图中总存在一个Seymour点.(b)无出度为0的圆可分解的局部竞赛图中至少存在2个Seymour点.(c)最小出度δ+(D)=a的非圆可分解的局部竞赛图D(并且不是竞赛图)中存在一点v∈V(D),使得d++(v)≥γd+(v),其中 γ=min{3/4+1/2a,(?)}.第四章,在局部竞赛图中研究Sullivan猜想.为了表示示方便,称满足Sullivan(i)猜想的点为Sullivan-i点,其中i ∈ {1,2}.通过证明得到:(a)局部竞赛图中总存在一个Sullivan-i点,这里i ∈ {1,2}.(b)无入度为0的局部竞赛图中至少存在2个Sullivan-1点.(c)无入度为0的圆可分解的局部竞赛图中至少存在2个Sullivan-2点.(d)无入度为0的非圆可分解的局部竞赛图D(并且不是竞赛图)中至少存在2个Sullivan-2 点或存在一个满足 d++(x)+d+(x)≥ 2d-(x)+2 的 Sullivan-2 点.