矩阵理论不但具有丰富的研究内容,又是一门最有实用价值的数学工具.在矩阵理论中,奇异值分解和奇异值不等式在高水平的统计计算和酉不变范数理论等中起着重要的作用.多年来,许多专家学者从不同的角度用不同的方法对有关奇异值的问题进行了很多的研究和推广,拓展了奇异值的应用范围和理论体系.本文用不同的方法对奇异值分解和Weyl定理进行了证明,并给出了一些推论.同时酉不变范数作为矩阵理论的一个重要数值特征,在矩阵计算、最佳逼近问题及扰动理论中有重要的作用.此外,分块矩阵作为一种特殊的矩阵,是探讨矩阵内在性质的重要工具,本文将半正定2×2分块矩阵和酉不变范数结合起来,得到了一系列矩阵的酉不变范数不等式.本文共分三章,具体内容如下：第一章主要介绍了本文中涉及的一些符号概念,主要有正规矩阵、酉矩阵、Hadamard积、弱受控、log-弱受控、压缩矩阵、半正定矩阵的半正定平方根、矩阵的广义逆,同时又介绍了一些已知的结论和定理.第二章首先给出了奇异值分解定理,然后分别从谱分解和极分解的角度给出了奇异值分解的其它证明方法,并由此得出了主对角元向量和奇异值向量的弱受控关系,并给出了Weyl定理的其它证明及推论.第三章利用酉不变范数和分块矩阵的一些性质,将酉不变范数和半正定2×2分块矩阵结合起来,从而得到了一系列关于矩阵酉不变范数的不等式.