本文研究内容隶属凸几何分析理论，致力于研究经典Brunn-Minkowski理论及其对偶理论中凸体、星体等几何体的相关度量的极值问题和不等式。本文主要采用Brunn-Minkowski理论及其对偶理论中的基本概念、基本方法和积分变换方法，得出了以下主要结果：　　(1)针对Petty提出的几何表面积概念，建立了几何表面积的积分表达式，并结合各种组合建立了一些与之相关的不等式。　　(2)通过对 Lp对偶仿射表面积的研究，建立了关于 Lp对偶仿射表面积的Busemann-Petty型和Shephard型的不等式。　　(3)结合质心体和混合相交体，在对偶均质积分的基础上建立了一类新Brunn-Minkowski不等式。此外，还得到了关于新Lp对偶混合均值积分的一类积不等式，并且作为应用，得到了对偶均值积分的下界，以及Brunn-Minkowski不等式、循环不等式等。　　(4)引入非对称的Lp对偶Blaschke体，并研究非对称的Lp对偶Blaschke体的一些性质,建立其关于体积和 Lp对偶仿射表面积度量的极值不等式。作为该工作的应用,分别给出了关于 Lp相交体的体积和 Lp对偶仿射表面积的Lp-Busemann-Petty问题的否定解,这一结果扩充了 Yuan和 Cheung关于Lp-Busemann-Petty问题否定解的范围。