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本文主要研究了数论中的七个问题：三角形数的分解,完美数与Fibonacci素数,新Waring司题,Mordell曲线与二阶等差数列,Wolstenholme定理的推广,Erdos-Straus猜想及两类特殊情况,Fermat大定理的推广.我们得到了如下结果：1.存在无穷多个三角形数能以两种不同方式分解为两个非1的三角形数之积.并且猜想,不存在3种不同的分解.2.引入一类新的完美数-F-完美数：自然数n,使得∑d|n,d<nd2=3n.并证明了n=F2k-1F2k+1,其中F2k-1和F2k+1均为Fibonacci素数.3.考虑了新Waring司题：把正整数表成若干个正整数之和,使得它们的乘积是k次幂.对g’(k)得到了完整的结果：g’(k)=2k-1对于G’(k),我们得到了部分结果：G’(p)≤p+1,G’(m)≤m+2,其中p是素数,m是合数.而且,提出了关于G’(3)和G’(4)的两个猜想.4.研究了Mordell曲线上整数点的一个算术性质：整点的y坐标最多能取到多少个连续的三角形数或平方数?证明了最多可以取到3个连续的三角形数,可以取到2个连续的平方数,并猜想不能取到3个连续的平方数.5.推广了著名的Wolstenholme定理.6.给出著名的Erdos-Straus猜想的成立的一个充分条件,并研究了两类特殊情况.7.考虑了Fermat大定理的一个推广：A+B=C使得ABC=Dn.并研究了当gcd(A,B,C)=pk时的几类情况.当k=1时,证明了n=3无正整数解,并猜想：若n是奇素数,gcd(A,B,C)=p是素数,则该方程没有正整数解.