函数逼近问题一直是数学中重要的研究课题。自上世纪二十年代以来得到了一系列重要的成果，也提出了一些著名的问题，如Bernstein逼近问题。时至今日，这些成果仍然受到广泛的关注，并涌现出了一些新的理论与方法。在本文中，主要探讨了两类具有某种逼近性质的函数：一类函数可由多项式快速逼近，称这类函数为快速（多项式）逼近函数；另一类函数在自变量充分大时可由周期函数逼近，这类函数包括了渐近ω-周期函数和ω-周期极限函数。　　首先，探讨了关于快速逼近函数的一些相关问题。Zerner和Zeriahi分别给出了有界集上的快速逼近函数空间的一些描述。然而，如何来描述无界集上的快速逼近函数空间仍然是一个有待解决的问题。为了研究这样一个问题，考虑了实数轴上Freud权的子类Wα=e-|x|α(α>1)，并研究了L2(R, W2αdx)空间中可被多项式快速逼近的函数组成的子空间。证明了该子空间具有自然的Fr′echet拓扑，且拓扑同构于快速下降序列空间。并给出了该子空间由光滑函数组成的结论并探讨了该空间所具有的一些其它性质。特别地，当α=2时，给出了该空间关于Schwartz函数的完全描述。　　其次，研究了渐近ω-周期函数的判定条件。给出了渐近ω-周期函数的充分必要条件。然后考虑了Stepanov意义下的渐近ω-周期函数，这类函数将渐近ω-周期函数推广到了局部可积的函数空间中。给出了Stepanov意义下的渐近ω-周期函数的充分必要条件。利用（Stepanov意义下的）渐近ω-周期函数的充分必要条件，研究了一类半线性分数阶积微分方程渐近ω-周期解的存在性与唯一性。　　最后，定义了一类新的函数，在本文中称这一类新的函数为ω-周期极限函数。当自变量充分大时这类函数可逐点逼近于可测的ω-周期函数。证明了由这类函数组成的空间是一个Banach空间，并给出了这类函数的一些其它性质。特别地，研究了这类函数空间与其它类型的渐近周期型函数空间之间的包含关系。然后用ω-周期极限函数研究了一类抽象的Cauchy问题渐近ω-周期解的存在性与唯一性。