1933年,Andrey Kolmogorov发表了著作《概率论基础》(初稿为德语,Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung),建立了现代概率论的公理体系.给定可测空间(Ω,F)上的概率测度P,则关于F可测的随机变量X的期望EO[X]定义为积分∫ΩXdP.显然,由于概率测度P是线性的,从而EP[·]为一个线性泛函.然而,许多不确定性现象并不能很好的用上述线性概率和线性期望来建模.一个很有趣的问题是如何建立非线性期望以及相应的条件期望.容度和Choquet期望(或Choquet积分)的概念由Choquet[17]引入,它们被广泛的应用于位势论(参见,Choquet[17],Doob[34])和决策论(参见,Schmeidler [108], Gilboa和Schmeidler[48]).然而据我们所知,条件Choquet期望的概念并没有被人们很好的理解,从而它们很难用于处理经济中的动态问题.另一重要的非线性期望一g-期望在Peng[85]中通过倒向随机微分方程来引入.它是一个理想的框架来度量概率不确定模型的随机性和风险(参见,Chen和Epstein[12],Fritelli和Rossaza Gianin[38],Peng[88]).然而,g-期望的一个局限性是它仅用来处理所涉及的不确定的概率测度关于一个参考概率测度(如,Wiener测度)绝对连续的情形.但是对于金融中著名的波动率不确定性问题,存在不可数个未知的概率测度,它们之间相互奇异Avellaneda等[3]和Lyons[73]研究了带有波动率不确定性的状态依赖的期权定价问题,而路径依赖的情形更有挑战性,需要创建一个比经典概率论更一般的框架.上述路径依赖下的非线性期望由Peng在[88,90]中建立,并且给出两种完全不同的方法来解决所涉及的动态相容性问题.前一种方法采用路径依赖下的更一般的动态规划原理；第二种方法使用Nisio形式的单调半群(参见Nisio[78,79]),称其为非线性Markov链,通过建立非线性形式的Kolmogorov相容性定理来构造非线性期望空间,这在经典概率论中同样重要.在上述所提到的非线性期望中,一类非常典型的非线性期望-G-期望首先由Peng[92]于2006年提出.事实上,G-期望也是一种非常典型的次线性期望,它保留了除去线性性质外线性期望所具有的其他良好性质.分布和独立性的概念在整个理论中起到非常重要的作用Peng的一项开创性工作是直接使用次线性期望E[·]来定义分布和独立,而不是使用容度这一看上去更加自然的概念来推广它们的定义.基于这些新概念Peng引入了一种非常重要的分布G-正态分布,它可以由所谓的G-热方程来刻画.G-期望和G-Brown运动的概念可以视为Wiener测度和经典的Brown运动的非线性推广.这些概念和相应的极限定理(大数定律和中心极限定理)以及关于G-Brown运动的Ito随机积分由Peng[92-102]引入并且做了系统研究.最近,很多作者基于Peng的开创性工作做了许多相应的推广.关于大数定律,Chen[11],Chen和Wu[14],Chen等[15]研究了强大数定律,这些结果是对Peng[93,96]中“弱”大数定律的推广.在Peng首先在[93]中证明了次线性期望空间中独立同分布(简记为i.i.d.)假设下的中心极限定理之后,许多作者在不假设同分布但是仍假设独立的情形下推广了这一结果,参见Li和Shi[66],Hu和Zhang[51],Hu[50],Hu和Zhou[58]等.关于G-期望理论框架下的Ito随机计算,特别的,关于Ito公式,由Gao[39]和Zhang等[123]等做出相应的推广.关于次线性期望理论以及G-期望理论的进一步工作可以参见Bai和Buckdahn[6],Bai和Lin[7],Chen和Hu[13],Denis等[30]Dolinsky等[33],Epstein和Ji[35],Gao[42],Gao和Jiang[41,42],Gao和Xu[43,44],Hu[52,53],Hu等[54：55],Hu和Peng[56,57],Lin[71],Lin[72],Nutz[80],Nutz和van Handel[81],Nutz和Zhang[82],Peng等[103],Soner等[112]Song[113-116],Xu和Zhang[122],等.本论文的出发点与Peng的开创性工作有一点不同.我们将次线性期望EP[·]视为一族概率测度集合P的上期望,其中P中的元素P为定义在可测空间(Ω,B(Ω))上的概率测度,这使得我们可以方便的利用线性期望EP[·]的现有性质来研究EP[·]的性质.并且我们从一个新的观点来研究独立的定义,即通过经典的条件期望来定义独立.这些新的构想使得我们可以将Peng[92-100]中相应的极限定理和Ito随机计算以及其他作者的工作推广到我们的框架中来.本论文中的第1章至第3章将重点研究这些问题.第4章是本论文的亮点.我们研究次线性期望和G-期望的性质,包括严格比较定理,可加性Wasserstein距离,对偶,控制和最优转移问题,尽管这些性质在经典概率论中是众所周知的,并且其中的一些性质甚至是显然的.这些结果是经典结果的非平凡推广,它们在第5章和第6章中多次用到.作为G-期望理论的应用.我们在第5章中介绍了连续最大变差鞅(简记为CMMV)的概念以及最大鞅变差问题.粗略地讲,最大鞅变差问题是指,给定一个定义在△(Rd)上的实值泛函M和一个概率测度μ∈△(Rd),我们的目标是在由所有长度为n的其终端值在Blackwell意义下受控于μ的取值于Rd的鞅所组成的集合上最大化所谓的M-变差.这一问题推广了Mertens和Zamir[77]中所引入的最大L1-变差问题.一维情形下的一般问题在De Meyer[26]中所研究,随后由Gensbittel[46]推广到多维情形.我们基于第1章至第4章中的结果给出这一问题的一个新的简洁的证明.两篇文章[26]和[46]中仅研究中心化的情形,即,泛函M仅定义在零均值的概率测度集上,我们将其推广到非中心化的情形,并且我们将在随后一章研究带有交易费用的博弈模型时发现这一推广非常有用.在第6章,我们基于Aumman和Maschler[4]的模型研究一类更广的单边不完全信息下的重复博弈模型,这类模型首先由De Meyer[25]以金融交易博弈的形式提出,随后由Gensbittel[45,47]推广到多维情形.这些博弈模型与第5章中所介绍的连续最大变差鞅的概念以及最大鞅变差问题有着紧密的联系.我们系统地研究了两个具体的博弈模型并且得到它们的Nash均衡显式解.通过这些模型我们可以看出连续最大变差鞅在股票市场中是一类非常稳健的价格过程.我们指出第5章和第6章的内容仅仅是从G-期望观点来研究博弈论的一个初步尝试,还有许多有趣的问题有待进一步研究.论文共分为六章,以下是本文的结构和得到的主要结论：(Ⅰ)第1章主要研究不确定性下的随机游走和相应的极限定理.我们将经典的Bernoulli随机游走和简单随机游走推广到不确定性的情形.所谓的“不确定性”是指参考的概率测度不是唯一的,而是一族概率测度组成的集合.设(Ω,B(Ω))为一个可测空间,P为定义在(Ω,B(Ω))上的概率测度组成的集合.给定随机变量X,参照Peng[93],X在P下的分布函数为Gb,Lip(R)到R上的泛函,其定义为其中Cb,Lip(R)为R上的有界Lipschitz函数空间.为了简化记号,我们将SupP∈ρ EP[·]记为EP[·]Peng[93]中给出的在P下独立的定义如下定义1.4设{Xi}i=1∞为一列(Ω,B(Ω))上的随机变量.如果对任一φ∈Cb.Lip(Rn),那么我们称Xn在P下独立于(X1,…,Xn-1).如果对每个n∈N,Xn在P下独立于(X1.…,X-1),那么我们称{Xi}i=1∞在P下独立.我们通过经典的条件期望给出一个独立的新定义：定义1.5设{Xi}i=1∞为一列(Ω,B(Ω))上的随机变量.给定(Ω,B(Ω))上的一族概率测度P,如果下列条件成立.(1)(?)P∈P,(?)φ∈Cb,Lip(R),EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]≤EP[φ(Xn)],P-a.s.(2)(?)φ∈Cb,Lip(R),存在依赖于φ的P∈P,使得EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]=EP[φ(Xn)],P-a.s.那么我们称Xn在P下弱独立于(X1,…,Xn-1).如果对每个n∈N,Xn在P下弱独立于(X1,…,Xn-1),那么我们称{Xi}i=1∞在P下弱独立.下面的定理给出了弱独立和Peng的独立定义之间的关系.定理1.7设{Xi｝i=1∞为一列在P下弱独立的随机变量序列.我们定义P如下P={P:(?)φ∈Cb,Lip(R),(?)n∈N,EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]≤EP[φ(Xn)],P-a.s.｝.则{Xi｝i=1∞在定义1.4的意义下在P下独立,并且我们可以证明在独立同分布假设下关于Bernoulli随机游走的大数定律,并且我们将它推广到不假设独立同分布的情形.下面的定理是更一般的形式.定理1.9设{Xk｝k=1∞为可测空间(Ω,B(Ω))上的一列随机变量,P为定义在(Ω,B(Ω))上所有满足下列条件的概率测度P组成的集合：(?)n∈N,μ≤EP[Xn|X1,…,Xn-1]≤μ且EP[|Xn|q|X1,…,Xn-1]≤Kq P-a.s.,其中μ,μ,K,q为常数且q>1.则我们有(i)对每一μ∈[μ,μ],存在Pμ∈P,使得(ii)对每一P∈P,(iii)对每一φ∈Cb,Lip(R),我们同样考虑关于简单随机游走的中心极限定理.G-正态分布的概念在中心极限定理中起到关键作用.在本章中,G-正态分布通过G-热方程的解来定义.定义1.10如果ξ的分布通过下式给出其中uφ(t,x)为如下G-热方程的解：其中G(α)=1/2σ2α+-1/2σ2α-,0≤σ≤σ.那么我们称ξ为G-正态分布,记为ξN(0,[σ2,σ2]).我们在此仅列出两个中心极限定理.事实上,它们在某种意义上是等价的.第二个多维情形下的中心极限定理会在第5章用到.我们将G-正态分布ξ的分布记为EG[φ(ξ)]：=Fξ(φ).定理1.14设{Xi｝i=1∞为可测空间(Ω,B(Ω))上的一列随机变量.设P为定义在(Ω,B(Ω))上的所有满足下列条件的概率测度组成的集合：(?)P∈P,(?)i∈N,(1)EP[Xi|X1,…,Xi-1]=0,(2)σ2≤EP[X,2|X1,…,Xi-1]≤σ2,(3)EP[|Xi|q|X1,…,Xi-1]≤Kq.我们记Sn=∑i=1n Xi.设Mn1(∑,K)为概率空间(Ω,B(Ω),P)上所有满足下列条件的长度为n的取值于Rd的鞅组成的集合：(i)EP[Sn]=0,(ii)EP[(Sk+1-Sk)(Sk+1-Sk)T|S1,…,Sk]∈∑,0≤k≤n-1,其中∑为S+(d)中的有界凸闭子集.(iii)EP[||Sk+1-Sk||q]≤K,0≤k≤n-1.设Vn[φ]:=supS∈mq(Σ,K)EP[φ[Sn/(?)n)].定理1.17我们假设q>2.设ξ为G-期望EG[·]下的G-正态分布N(0,∑),则(?)φ∈C(Rd)且满足增长条件|φ(x)|≤C(1+|x|p),其中1≤p＜q,我们有在第1章的最后一节,我们给出G-Brown运动通过简单随机游走的逼近定理.设{Sn｝n=1∞为一个离散时间过程,则S的连续时间化过程定义为St=Sn+(t-n)(Sn+1-Sn), n≤t<n+1.定理1.19设{Sn｝n=1∞为P下带有方差不确定性的简单随机游走.我们定义则Wt(n)弱收敛于G-Brown运动,即,对每一个k∈N和0≤t1<t2<…＜tk,我们有其中(Bt)t≥0为G-Brown运动,满足EG[B12]=EP[S12]且EG[-B12]=EP[-S12].(Ⅱ)第2章研究次线性空间中的极限定理.设P为可测空间(Ω,B(Ω))上的概率测度组成的集合.次线性期望EP[·],上概率V(·)和下概率υ(·)分别定义为Ep[·]=supP∈ρEp[·];V(·)=supP∈ρ=P(·);v(·)=infP∈ρP(·).我们给出乘积独立和加和独立的定义,这些定义比Peng[93]中给出的独立的定义要弱.定义2.14设X1,X2,…,Xn为(Ω,B(Ω))上的一列可测随机变量.(i)如果对于每一个非负有界的Lipschitz函数φk,k=1,…,n,那么我们称Xn乘积独立于(X1,…,Xn-1).(ii)如果对于每一个φ∈Cb,Lip(R),那么我们称Xn加和独立于(X1,…,Xn-1).下面给出的大数定律是Peng[93,96,98],Chen[11],Chen和Wu[14],以及Chen等[15]中的大数定律的推广.定理2.17设{Xk｝k=1∞为一列随机变量满足：对某一q>1,supk≥1EP[|Xk|q]＜∞,且EP[Xk]三μ,-EP[-Xk]三μ,k=1,2,设Sn=∑k=1n Xk.(i)如果{Xk｝k=1∞乘积独立,那么(ii)如果{Xk｝k=1∞乘积独立且加和独立,那么(iii)如果{Xk｝k=1∞加和独立且V(·)上连续,即,当An↓A时,V(An)↓V(A),其中,An,A∈B(Ω),那么关于次线性期望空间上的中心极限定理,Peng[93]首先证明了独立同分布的情形,随后由Li和Shi[66],Hu和Zhang[51],Hu[50],Hu和Zhou[58]推广到不假设同分布的情形.然而,所有的这些定理均要求随机变量的独立性.我们考虑一个比独立稍弱的条件,称之为m-相依,并且证明了相应的中心极限定理.这一结果已被Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series所接受.定义2.31如果存在一个整数m使得对每一个n和每一个j≥m+l,(Xn+m+1,…,Xn+j)均独立于(X1,…,Xn),那么我们称序列{Xi｝i=1∞为m-相依.特别的,如果m=0,那么称{Xi｝i=1∞为独立序列.定理2.32设{Xi｝i=1∞为一列m-相依序列,满足且对i=1,2,…,EP[|Xi|2+α]≤M,其中α>0且M为常数.设Sn=∑i=1n,则我们有其中ξ～N(0；[σ2,σ2]).(Ⅲ)第3章主要研究不假设拟连续条件的Ito随机计算,并且得到一般形式的Ito公式以及具有局部Lipschitz系数的随机微分方程的解的存在唯一性.现有的关于G-Brown运动的Ito随机分析均建立在随机过程空间MGp(0,T)(p≥1)上(参见,Peng[92,95,97,98,100]以及Gao[39]和Zhang等[123]),其中空间MGp(0,T)由满足拟连续条件的随机变量所生成.然而停时这一在经典随机分析中非常重要的概念并不满足拟连续性,从而我们很难在空间MGp(0,T)中处理停时问题.这也导致现有的Ito公式均对C2-函数要求一定的增长条件.为了克服上述困难,我们在本章中引入一个更大的随机过程空间M*p(0,T).它是由未必满足拟连续条件的随机变量所生成.随后我们在这个更大的空间M*p(0,T)上定义Ito随机积分,并且我们考虑了定义在停时区间上的Ito随机积分.这使得我们可以在“局部可积”空间Mω2(0,T)上定义Ito随机积分.这一新的理论框架使得我们可以得到关于C1,2-函数的更一般的Ito公式,这一结果在本质上推广了Peng[92,95,97,98,100]以及Gao[39]和Zhang等[123]中的结果.该结果与导师彭实戈教授合作发表于Stochastic Process and Their Applications121(7)1492-1508.定理3.41设Φ∈C1,2([0,T]×R)且则对任一t∈[0,T],我们有,在本章的最后一节,我们考虑如下由d维G-Brown运动驱动的随机微分方程：其中b(·,·),hij(·,·),σj(·,·)：[0,T]×R→R为连续函数,X0为常数.我们引入如下条件：(H1)有界性条件：对任一s∈[0,T](H2)Lipschitz条件：对任何x,y∈R和s∈[0,T],max{|b(s,x)-b(s,y)|,|hij(s,x)-hij(s,y)|,|σj(s,x)-σj(s,y)|}≤K|x-y|.(H3)局部Lipschitz条件：对所有满足|x|,|y|≤R的x,y∈R以及s∈[0,T],max{|b(s,x)-b(s,y)|,|hij(s,x)-hij(s,y)|,|σj(s,x)-σj(s,y)|}≤KR|x-y|.(H4)增长性条件：对任一x∈R和s∈[0,T],xb(s,x)≤K(1+x2), xhij(s,x)≤K(1+x2),|σj(s,x)|2≤K(1+x2).第一个定理给出在空间M*2(0,T)上的解的存在唯一性.第二个定理研究具有局部Lipschitz系数的随机微分方程的可解性.定理3.44假设条件(H1)和(H2)成立.则存在唯一的过程X∈M*2(0,T)满足(1).定理3.45假设条件(H3)和(H4)成立.则随机微分方程(1)存在唯一的连续适应解X.(Ⅳ)第4章研究次线性期望和G-期望的性质,包括严格比较定理,可加性,G-期望与Choquet期望之间的联系,Wasserstein距离,对偶,控制以及最优转移问题.本章分为五节来研究上述性质.在第4.1节,我们研究严格比较定理.我们在此仅列出本节中两个重要的定理.定理4.4设X,Y∈Lc1(Ω)且X≤Y q.s.如果那么EP[X]＜EP[Y].定理4.9设旦＞0且X,Y∈Lip(Ω)具有如下形式X=φ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1)和Y=ψ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1),其中φ(x)≤ψ(x),(?)x∈Rn.则EG[X]＜EG[Y]当且仅当存在x0∈Rn使得φ(x0)＜ψ(xo).在第4.2节,我们研究G-期望的可加性.设ξ为G-正态分布N(0,[σ2,σ2]),其中0<σ<σ.如下的两个定理是本节中的主要定理.定理4.13我们假设φ,ψ∈Cb,Lip(R).则EG[φ(ξ)+ψ(ξ)]=EG[φ(ξ)]+EG[ψ(ξ)]当且仅当(?)xxu(t,x)(?)xxσ(t,x)≥0,V(t,x)∈(0,1)×R.定理4.16如果存在x0θ>0使得φ,ψ∈C2((x0-θ,x0+θ))且φ″(x0)ψ″(x0)＜0,那么我们有在第4.3节,我们比较了G-期望和Choquet期望并且给出了一些有趣的例子.我们证明了G-期望被相应的Choquet期望所控制.下面的定理是本节中的主要定理.定理4.26G-期望EG[·]可以表示成Choquet期望Ec[·]伊P,(?)X∈LG1(Ω),EG[X]=Ec[X])当且仅当EG[·]为线性(即,σ=σ.在第4.4节,我们将经典的Wasserstein距离及其相应的性质推广到次线性空间.设P1和P2为两个非空凸的弱紧的概率测度集合.我们定义P1和P2之间的Hausdorff-Wasserstein距离如下：其中Wp(P1,P2)是经典的P1和P2之间的Wasserstein距离.我们首先给出次线性形式的Kantorovich-Rubinstein对偶公式.定理4.30||φ||Lip≤1表示Lipschitz函数φ的Lipschitz系数小于等于1.众所周知,概率测度的弱收敛等价于Wasserstein距离下收敛,我们给出这一性质在次线性期望框架下的非平凡推广.定义4.31设{EPn}n=1∞为一列次线性期望.如果对每一φ∈Cb,Lip(Ω),那么我们称{EPn｝n=1∞弱收敛于EP,或等价的,称{Pn｝n=1∞弱收敛于P.定理4.35设{Pn｝n=1∞为一列凸的弱紧的概率测度集合满足下列条件：设P为一凸的弱紧的概率测度集合.则下面的两个论述等价：(ⅰ)Pn弱收敛于P.(ⅱ)W1(Pn,P)→0.在第4.5节,我们介绍了经典情形以及次线性情形下的对偶和控制的概念以及最优转移问题.首先介绍的Fenchel对偶及其性质在第6章中研究对偶博弈时会再次用到.随后我们介绍了经典的Blackwell控制的概念,并且得到一个关于次线性期望的控制定理.定理4.47如果P1和P2为(Ω,B(Ω))上的两个凸的弱紧的概率测度集合.那么下面的叙述等价：(ⅰ)EP1[·]被EP2[·]所控制.(ⅱ)P1(?)P2.最后,我们研究次线性空间上的Kantorovich最优转移问题.设Q1和Ω2为两个完备可分的距离空间,Ⅱ(μ,υ)为定义在(Ω1(?)Q2,B(Q1(?)Q2))上的所有满足其边际分布在Q1和Ω2上分别为μ和υ的概率测度组成的集合.设P1和P2为分别定义在(Ω1,B(Q1))和(Ω2,B(Q2))上的弱紧的凸的概率测度集合.记Ⅱ(ρ1,ρ2)=∪μ∈ρ1,v∈ρ2Ⅱ(μ,v)对Ω1(?)Ω2上的连续函数c,Φc为所有满足下列条件的连续函数对(φ,ψ)组成的集合：φ(ω1)+φ(ω2)≥c(ω1,ω2),(?)ω1∈Ω1,ω2∈Ω2.我们得到如下形式的对偶公式：定理4.49设c：Q1(?)Ω2→R为连续函数,则我们有我们同时考虑如下的最大协方差问题：给定一个概率测度μ和一个概率测度集合P.最大协方差函数C(μ,P)定义为下面的定理在第5章中会用到.定理4.52设{Pn｝和P为凸的弱紧的概率测度集合,μ为任一概率测度.如果W2(Pn,P)→0,那么我们有(Ⅴ)第5章主要研究连续最大变差鞅和最大鞅变差问题.我们首先介绍De Meyer[26]中所提出的连续最大变差鞅的概念,然后我们将其推广到G-期望框架.本章的主要目的是解决如下的最大鞅变差问题.设Mn(μ)为(F,X)组成的集合,其中F：=(Fq)q=1,…,n为概率空间(Ω,B(Ω),P)上的信息族,X=(Xq)q=1,…,n为F鞅,其终端分布Xn在Blackwell意义下受控于μ.给定泛函M：△2(Rd)→R,我们可以定义M-变差VnM(F,X)如下则最大M变差VM(μ)定义为对于一维的情形,我们得到如下的定理：定理5.11如果M满足.(ⅰ)正齐性(?)X∈L02(R),(?)α>0:M[αX]=α[X].(ⅱ)Lipschitz连续性：存在p∈[1,2)和K∈R使得对所有的X,Y∈L02(R)：|M[X]-M[Y]|≤K||X-Y||Lp.(ⅲ)常数平移不变性M[X+β]=M[X]+M[β],(?)β∈R.那么对所有的μ∈△2(R),我们有(3)如果ρ>0并且对所有的n,(Fn,Xn)∈Mn(μ)满足VnM(Fn,Xn)=VnM(μ),那么Xn的连续时间表示Πtn：=X[nt]n依有限维分布收敛到连续最大变差鞅Πμ.对于多维情形,我们首先引入辅助函数r定义如下其中cov(μ)为μ∈△02(Rd)的协方差矩阵.集合r的定义可以参见定义5.12.我们假设M：△2(Rd)→R满足如下假设：(H1)M≥0并且非退化：(?)x∈Rd,存在μ∈△02(Rd)使得μ(Rx)=1,且M(μ)≥0.(H2)M在p阶Wasserstein距离下K-Lipschitz连续,其中p∈[1,2).(H3)M满足正齐性：(?)X∈L2(Rd),λ>0,M[λX]=AM[X].(H4)M在△02(Rd)上为凸泛函.(H5)r为拟凸函数,即,(?)α∈R,{Y∈L2(Rd)|r(cov(Y))≤α}.在L2(Rd)中为凸集.(H6)M[X+β]=M[X]+M[β],(?)β∈Rd.我们有下面的定理：定理5.14在假设(H1)-(H6)下,我们有(Ⅵ)第6章主要研究一类广义的Aumann和Maschler[4]中所介绍的重复博弈模型.这类模型首先在De Meyer[25]中作为金融交易模型引入,随后由Gensbittel[45,47]推广到多维情形.与Aumann-Maschler的模型所不同的是我们允许状态集和策略集为不可数集.本章包含四节.在第6.1节,我们研究[45]中所提出的线性博弈模型并且将[45]中的Cav(u)定理从△(P)推广到△1(Rd),其中P为Rd中的凸紧子集.设Vn(μ)和瓦(μ)分别为单边信息不对称重复博弈模型Γn(μ)(参见第6.1节)中参与者1的最大支付和参与者2的最小支付,ui(μ)和u(μ)分别为完全信息下的博弈模型中相应的支付.我们有如下的Cav(u)定理：定理6.5对所有的μ∈△1(Rd),我们有如果我们进一步假设,(?)μ∈△∞(Rd),博弈r1(μ)存在值,即,V1(μ)=V1(μ)=V1(μ),那么我们有如下更精确的Cav(u)定理：定理6.9如果V1满足如下假设：(i)存在μ0∈△2(Rd)使得V1(μ0)＞0.(ⅱ)V1([L+β])=V1([L])+V1([β]),(?)β∈Rd.那么我们有,对所有的μ∈△2(Rd),其中ξ～N(0,Γ),Γ在第5章第5.3节中给出,我们需要用V1代替那里的M.在第6.2节,我们研究一类特殊的线性博弈模型,称为金融交易模型.这一模型由De Meyer[25]提出.我们推广了[25]中的自然交易机制.在博弈Γn(μ)中(参见第6.2节),自然交易机制的假设如下：(H1)博弈值的存在性：(?)μ∈△∞(R),博弈Γ1(μ)存在值.(H2)交易的有界性：(?)i,j:|Aij|≤K,其中K为常数.(H3)正齐性：(H4)关于风险资产中的无风险部分的平移不变性：(H5)信息具有正价值：(?)L∈L2(R)：V1([L])>0.基于第5章的结果,我们给出下面的值函数以及价格过程的逼近定理.定理6.15如果(H1)-(H5)成立,那么对所有的μ∈△2(R),(ⅲ)如果ρ>0且对所有的n,(Fn,Xn)∈Mn(μ)满足VnV1(Fn,Xn)=Vn(μ),那么Xn的连续时间表示Ⅱtn：=X[nt]n依有限维分布收敛于Ⅱμ.在第6.3节中,我们系统的研究了一个带有交易费用的博弈模型,它并不满足[25]中的自然交易机制但是满足我们在第6.2节中推广的自然交易机制.我们通过对偶方法得到这一模型的Nash均衡显式解.并且我们证明了由非内幕参与者所提出的价格过程在有限维分布下收敛到连续最大变差鞅.这一结果更好的表明连续最大变差鞅在股票市场中是一类非常稳健的价格过程.在第6.4节,我们研究了一个博弈模型其中博弈双方均不是风险中性,这推广了DeMeyer[26]中的结果,原结果中非内幕参与者是风险厌恶而内幕参与者是风险中性.我们得到的结论非常有趣Nash均衡解不依赖于内幕参与者的风险态度,即,当内幕参与者是风险中性时的Nash均衡同时也是内幕参与者是风险厌恶或风险喜好时的均衡解.