【摘 要】
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最优控制问题在许多工程应用中占有重要地位,它广泛应用于航空航天,生物工程,能源开发,大气污染控制和人口,温度控制等科学技术领域.从数学研究的角度上看,最优控制问题往往
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最优控制问题在许多工程应用中占有重要地位,它广泛应用于航空航天,生物工程,能源开发,大气污染控制和人口,温度控制等科学技术领域.从数学研究的角度上看,最优控制问题往往可以转化为求目标泛函的极值问题,但很难得到控制问题的解析解.目前,已有的数值方法主要有有限元方法、有限体积元方法、有限差分法和谱方法等等.由于有限体积元方法具有保持物理量的局部守恒和数值计算格式简单的特性,因此得到越来越多的学者的重视.在实际的计算问题中,我们常常会遇到带有Dirichlet边界的最优控制问题.由于获得带有Dirichlet边界约束的椭圆偏微分方程最优控制问题的高精度数值格式很难,所以目前很少有二阶精度格式.对于怎样获得像这种问题的高精度格式,在科学计算和工程应用中是一项具有挑战性的工作.本文的创新点在于使用有限体积元方法求解矩形区域上的带有Dirichlet边界约束的椭圆偏微分方程的最优控制问题,采用先优化后离散的方式,在优化过程中使用拉格朗日乘子方法获得问题的最优性组,利用有限体积元方法离散非线性KKT方程组,采用二次插值克服了投影方程中伴随的方向导数降阶的困难,使得状态,伴随状态,控制均达到了二阶精度.最后给出数值实验证明了该方法的有效性.
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