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关于全纯尖形式以及Maass形式的傅里叶系数问题引起了许多学者的关注并做出了大量研究.本文将解析数论经典方法与自守L-函数理论相结合研究了全模群r=SL2(Z)上全纯尖形式以及Maass形式的傅里叶系数在算术级数中的分布规律.令Hk表示权为偶整数k的所有标准化本原特征尖形式的集合.函数f∈Hk在尖点∞处的傅里叶展式为(?)其中系数λf(n)∈R是Hecke算子Tn的特征值.对于所有的n ≥ 1,Deligne[8]证明了|λf(n)|≤d(n),其中d(n)为除数函数.1990年,Rankin[33]得到了标准化傅里叶系数和的上界(?)2001年,Ivic[18]研究了标准化傅里叶系数在平方数集上的分布,即(?)其中A是合适的正常数.随后,Fomenko[9]改进了 Ivic的结果(?)对于满足(?)的偶整数k的任何全纯尖形式,Sankaranarayanan证明了(?)后来,对于任意的ε>0,Lui[28]证明了(?)另外,Rankin[32]及 Selberg[34]得到(?)2009 年,Lao 和 Sankaranarayanan[23]得到估计(?)其中 j=2,3,4 且 θ2,2=9/11,θ3,2=8/9,θ4,2=25/27.令Sr表示特征值为λ=1+4+r2的标准化本原Maass尖形式的集合.那么f∈Sr的傅里叶展开为(?)这里λf(n)∈R是Tn的特征值并且K-Bessel函数Ks(y)对于y>0及s ∈ C被定义为(?)目前为止,最好的估计由Kim和Sarnak[22]证明|λ|(n)|≤n7/64d(n).1989年,Hafner及Ivid[11]研究了 λf(n)在平方数集上的分布(?)2011 年,Lau 和 Lu[25]证明了(?)对于1 ≤j≤:4,Jiang 及 Lu[16]得到(?)其中(?).对于全纯尖形式,算术数列上的λf2(nj)之和的渐近公式首先由Andrianov及Fomenko[2]证明.随后,Akbarov[1]进一步改进了余项.对于f∈Hk及f∈Sr,Jiang和Lu[15]研究了 j=2,3,4时算术级数上的λf2j(n)之和.本文中,当j=2,3,4,我们讨论λf2(nj)在算术级数中的分布,即(?)其中l,q ∈ Z,0≤l
0,若q ≤xθj,j=2,3,4,则(?)其中(?) 是常数(?)(?)定理2 令f∈ Sr,q为素数且(q,l)=1.对于任意的ε>0,j=2,3,4,若q ≤x,则(?)其中(?)是常数,(?)