【摘 要】
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具间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题；在渗流力学中,复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题等.这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面.本文旨在对下列刻画界面问题的具间断系数的二阶椭圆方程建立浸入有限元方法（the immersed finite element method）,
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具间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题；在渗流力学中,复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题等.这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面.本文旨在对下列刻画界面问题的具间断系数的二阶椭圆方程建立浸入有限元方法（the immersed finite element method）,以期达到对界面问题较标准有限元方法有更好的逼近性质.注意到Crouzeix—Raviart非协调有限元构造的简单性以及在处理平面弹性问题所具有的"locking free"性质,我们提出了基于Crouzeix—Raviart非协调有限元的界面浸入有限元方法,即在界面单元上构造依赖于界面的线性多项式空间,而在非界面单元上采用Crouzeix—Raviart元空间,从而构造出了非协调界面浸入有限元空间.进一步,提出了数值求解上述问题的界面浸入有限元格式,证明了该格式解的存在唯一性.最终采用尺度论证、迹定理以及分数次空间中等价范数定义,证明了该方法具有对界面问题解的最优H1和L2逼近精度,收敛阶分别为O（h）和O（h2）.我们还对[26],[29],[35],[36]中提出的界面浸入有限元方法的收敛性给出了一种更为直接、简洁的证明方法.通过采用双线性引理,Bramble—Hilbert引理,尺度论证,迹定理等有限元数值分析的常规方法,证明了离散格式对于真解u的最优H1和L2收敛精度,收敛精度仍然为O（h）和O（h2）.
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